Demostración de que los ideales son principales en el anillo de enteros de campo cúbico

Question

Dejemos que $K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{6})$ . Factorizar $\langle p \rangle$ en ideales primos en $\mathcal{O}_K$ para $p = 2, 5, 13$ , comprobando que los factores son principales.

He utilizado el Teorema de Dedekind-Kummer para obtener los factores, pero no he podido demostrar que todos sean principales. He conseguido hacer los factores de $\langle 2 \rangle, \langle 5 \rangle$ utilizando algunas cosas de diferencia de cubos, pero no estoy seguro de cómo uno podría encontrar generadores para los factores de $\langle 13 \rangle$ . Por ejemplo, $\langle 13, -2+\sqrt[3]{6} \rangle$ (los otros tienen $-7,-12$ en lugar de $-2$ (espero que sean correctos). Sospecho que es algo relativamente sencillo pero no puedo verlo ya que ninguna de las obvias como $-2+\sqrt[3]{6}$ o $11+\sqrt[3]{6}$ parecen funcionar. Se agradecería la ayuda.

Answer 1

El ideal $\langle13\rangle\subset\mathcal{O}_K$ es a su vez primo porque $X^3-6$ es irreducible sobre $\Bbb{F}_{13}$ , lo que se ve fácilmente al comprobar que no tiene raíces en $\Bbb{F}_{13}$ . En particular, para responder a su pregunta, el factor único $\langle13\rangle$ es principal.