Cómo mostrar $e^t$ es la única solución de la ecuación integral $\int_0^1 e^{ts} x(s) ds = \frac{e^{t+1}-1}{t+1}$ ?

Question

Cómo mostrar $x(t) = e^t$ es la única solución de la siguiente ecuación integral? $$\int_0^1 e^{ts} x(s) ds = \frac{e^{t+1}-1}{t+1}$$

Mis pensamientos: $$(t+1)\int_0^1 e^{ts} x(s) ds = e^{t+1}-1 $$ La integración por partes da:

$$\int_0^1 e^{ts}(x(s)-x'(s)) ds = (e - x(1))e^{t} + x(0) - 1$$

Tomando la $k$ -derivada de ambos lados sobre $t$ :

$$\int_0^1 s^k e^{ts}(x(s)-x'(s)) ds = (e - x(1))e^{t}$$

Dejemos que $t = 0$

$$\int_0^1 s^k (x(s)-x'(s)) ds = e - x(1)$$

No sé cómo proceder a continuación.

Answer 1

Supongamos que $x(s)$ y $y(s)$ ambos satisfacen la ecuación integral. Entonces $\int_0^1 e^{ts}(x(s)-y(s))ds=0$ para todos $t$ . Entonces lo mismo es cierto si sustituimos $e^{ts}$ con una combinación lineal finita de elementos de la familia $\left\{e^{ts}\right\}_{t\in \mathbb{R}}$ . Así, $$\int_0^1 f(s)(x(s)-y(s))ds,\qquad \forall f\in \operatorname{span}\left\{e^{ts}\right\}_{t\in \mathbb{R}} $$ Pero $\operatorname{span}\left\{e^{ts}\right\}_{t\in \mathbb{R}}$ es una subálgebra de $C([0,1])$ que separa los puntos y contiene una función constante no nula (sea $t=0$ ), y por lo tanto por el Teorema de Stone-Weierstrass es denso en $C([0,1])$ . Así, utilizando una limitación estándar bajo el procedimiento de signo integral, $$\int_0^1 f(s)(x(s)-y(s))ds=0,\qquad \forall f\in C([0,1]) $$ Ahora es un hecho conocido en el análisis que esto implica $x(s)-y(s)\equiv 0$ es decir $x=y$ . Por lo tanto, la solución de su ecuación integral es única.