Problemas con el ejercicio en la topología súper básica

Question

Espacios dados $X,Y$ , un lugar cerrado $A$ en $X$ y un mapa cerrado $f:X\rightarrow Y$ Me dijeron que lo hiciera:

Demostrar que la topología del cociente inducido en $f(A)$ es igual a la topología del subconjunto en $B=fA$ inducido por la topología del cociente en $Y$ .

¿Cuál es la topología del cociente en $Y$ ?

Hasta ahora sé que bajo la topología del cociente en $f A$ tenemos $U\subset f A$ es cerrado si $f^{-1} U\subset f^{-1} fA$ está cerrado.

Tomando la topología del subespacio, ya que $A$ está cerrado tenemos $U\subset fA$ es cerrado si $U\subset Y$ está cerrado.

No veo dónde está la cerrazón de $f$ tampoco entra en juego aquí...

Answer 1

Voy a responder a una pregunta diferente, que es probablemente lo que se pretendía. Probemos esto en su lugar

Demostrar que la topología del cociente inducido en $B:=f(A)$ es igual a la topología del subconjunto en $B$ inducido por la topología en $Y$ (sin cociente).

Dejemos que $U\subset B$ sea un conjunto abierto en la topología del subespacio. Entonces hay un conjunto abierto $V\subset Y$ tal que $V\cap B=U$ . Desde $A$ está cerrado y $f$ está cerrado, $f(A)=B$ está cerrado en $Y$ y el complemento de $U$ en $B$ est $(V\cap B)^c\cap B=V^c\cup B^c\cap B=V^c\cap B$ que está cerrado en $Y$ . Desde $f$ es continua, la preimagen de los conjuntos cerrados bajo $f$ están cerradas en $X$ . Desde $f$ es suryente hacia $f(A)=B$ Esto significa que $$f^{-1}(U)=f^{-1}((V^c\cap B)^c)=f^{-1}(V^c)^c\cap f^{-1}(B)^c$$ está abierto.

Del mismo modo, si $U\subset B$ es tal que $f^{-1}(U)$ está abierto, entonces $f^{-1}(U)^c$ está cerrado en $X$ y $f(f^{-1}(U)^c)=U^c\cap B$ está cerrado en $Y$ . Por lo tanto, $(U^c\cap B)^c=U\cup B^c$ está abierto. Pero entonces $U=(U\cup B^c)\cap B$ es abierto en la topología del subespacio.