Argumento del pseudovector
Hay un argumento intuitivo, pero lo primero que hay que hacer es tomar el dual de Poincare de B. En 3 dimensiones, hay un tensor épsilon $\epsilon_{ijk}$ que es invariable no cambia con las rotaciones. Tiene $\epsilon_{123}=1$ y todos los intercambios dan un signo menos, por lo que el valor de $\epsilon$ es cero de dos de los índices son iguales, y el signo de la permutación para llegar a 123 si son todos diferentes. El tensor épsilon contraído con tres vectores $v_1,v_2,v_3$ da el área firmada que abarca el paralelepípedo que forman. Como el área con signo es el determinante de la matriz de v's reunida en 3 columnas, cambia de signo bajo la reflexión de los tres ejes de coordenadas.
La cantidad fundamental en el electromagnetismo es $B_{\mu\nu}=\epsilon_{\mu\nu\sigma}B^{\sigma}$ , el tensor épsilon contraído con B. Esta cosa es un tensor antisimétrico de rango 2. Debido a que el $\epsilon$ es invariante, un tensor antisimétrico es equivalente a un vector bajo rotaciones, pero no es equivalente bajo reflexiones. La razón es que aunque un vector cambia de signo bajo reflexiones, un tensor no. Esto también es cierto para B--- es un pseudovector, si reflejas un espacio con un cable conductor de corriente, la dirección de B no se invierte.
El hecho de que B sea fundamentalmente un tensor, no un vector, significa que cuando está interactuando con una partícula con velocidad v, sólo puede formar una fuerza cuando uno de los índices se contrae con algo. Lo único que se puede contraer es la velocidad, por lo que se obtiene $B_{\mu\nu}v^\mu$ como la fuerza, y esto es $v\times B$
En la relatividad, esto se ve como lo único natural, ya que los campos E y B juntos forman un tensor 2 antisimétrico, y la fuerza de cuatro Lorentz es este tensor contraído con la velocidad 4. Esta forma es tan natural e intuitiva, que no requiere una justificación detallada.
Un replanteamiento más físico del argumento
Lo anterior suena más o menos formal, pero sólo dice lo siguiente: el campo magnético no cambia de signo al invertir las coordenadas del espacio. Para ver esto físicamente, considere un solenoide de corriente que se extiende a lo largo del eje z desde -a hasta a, con la corriente principalmente en el plano x-y a lo largo de cada bobina, y refleje este solenoide en los ejes x-y-z. Reflejar x invierte la corriente, reflejar y la devuelve al punto de partida, y reflejar z no cambia el solenoide.
Como la corriente es la misma, ¡B es la misma! Así que la B de un solenoide no cambia bajo la reflexión. Así que la fuerza sobre una partícula no puede estar en la dirección de B, porque la fuerza invierte su dirección bajo reflexión y B no lo hace. La fuerza sólo puede estar en la dirección de una cantidad que sí invierte su dirección, y la más sencilla de tales cantidades es $v\times B$ . Bajo una reflexión, v invierte su dirección y B no, por lo que la fuerza de Lorentz se invierte correctamente.
Este argumento asume la simetría de reflexión, que es una simetría del electromagnetismo, pero que en realidad no es una simetría fundamental en nuestro universo. El mismo argumento de la reflexión muestra que la carga magnética no es propiamente simétrica con la carga eléctrica, ya que la carga magnética cambia de signo bajo la reflexión (refleja todas las coordenadas con la carga en el origen -el campo se mueve a una nueva ubicación, pero apunta en la misma dirección, por lo que el sentido de la carga magnética se invierte). Esta propiedad significa que los monopolos magnéticos fueron una de las primeras señales de que la naturaleza no es invariante de la paridad, y puede explicar por qué Dirac no se sorprendió cuando se demostró que las interacciones débiles violaban la paridad.
La otra suposición es que la fuerza es la combinación invariante de reflexión más simple de B y v. Si se abandona la idea de que la fuerza es linealmente proporcional a B, hay combinaciones más complicadas que también funcionan para dar una ley de fuerza invariante de reflexión. Estas combinaciones generalmente no obedecen a la conservación de la energía.
Para tener una conservación automática de la energía (y un espacio de fase automático con las propiedades simplécticas), debe derivar sus ecuaciones de movimiento de la acción.
Argumento hamiltoniano e invariancia gauge
El mejor argumento es el concepto de potencial de momento (o potencial vectorial). Como la energía tiene una energía potencial añadida, que es $e\phi$ el momento tiene un potencial añadido que es $eA$ donde A es el potencial vectorial.
El Lagrangiano para la interacción es
$$ mA\cdot \dot{x} $$
Lo que hace que el momento conjugado $mv + eA$ para que la energía cinética sea $(p-eA)^2\over 2m$ y la energía potencial es $e\phi$ . Las ecuaciones de Hamilton para esta energía dan la ley de fuerza de Lorentz. Las ecuaciones de Hamilton son:
$$ \partial_t p = \partial_x {(p-eA)^2\over 2m + \phi}$$ $$ \partial_t x = {p - eA \over m}$$
Y combinando las ecuaciones a una ecuación de segundo orden para la aceleración de x se obtiene la ley de fuerza de Lorentz. La misma sustitución en el Hamiltoniano, $p$ a $p-eA$ , funciona en la relatividad para dar la ley de fuerza de Lorentz correcta en cuatro dimensiones.
La identificación de B con $\nabla \times A$ puede justificarse a partir de la invariancia de las ecuaciones bajo la adición de un gradiente a A. La parte clásicamente física de A es su rizo, y esto es sensato identificarlo con el B en las ecuaciones de Maxwell.
Este argumento es fundamentalmente sólido, porque no depende de la invariancia de reflexión (cualquier argumento que se base en la simetría de reflexión es realmente falso, ya que sabemos que ésta no es una simetría de la naturaleza en ningún sentido fundamental), y es correcto desde el punto de vista de la mecánica cuántica cuando se interpreta la invariancia gauge como una libertad en la redefinición de la fase local de la función de onda de una partícula cargada. Su único inconveniente es que requiere cierta familiaridad con el principio de Hamilton.
