¿Cómo puedo encontrar un factor de escala para n cilindros de manera que el volumen total, el área y la altura converjan en valores específicos?

Question

Estaba trabajando en un proyecto en el que tenía que hacer un árbol binario de cilindros. Básicamente, tenía que hacer un cilindro, luego dos más pequeños, luego cuatro aún más pequeños y así sucesivamente. El reto consistía en modelar los pulmones, de modo que los cilindros combinados tuvieran un volumen total V de 6L, una superficie lateral L de 70m2 y una altura total h de 2400km.

Hice una aproximación en matlab mediante ensayo y error, jugando con múltiples divisores en un bucle for y me acerqué (V = 6,0002L, L = 70,133m2, h = 2398km). Desde entonces me he obsesionado con ello porque estoy convencido de que hay una solución más elegante. Un factor de escala que haga que la suma de cada uno converja en el valor exacto.

Llevo unos días trasteando con él pero no consigo que funcione.

En la mayoría de mis intentos, puedo obtener dos parámetros correctos y uno que no lo es. Así que si V = 6L y h = 2400km, L estará apagado.

Hice algunos bocetos que explican el concepto http://imgur.com/a/JbTuX . También hay un poco de matemáticas porque mi lógica al dibujar esto era que la solución se podía encontrar usando series, ya que quiero que cada parámetro converja a un valor específico.

Los bocetos no muestran el factor de escala. Tenía la esperanza de que al escribir la serie se me ocurriera algo útil.. No lo hice

Answer 1

Introducir un factor de escala $\alpha<1$ por generación para el radio y un factor de escala $\beta<{1\over2}$ por generación para la altura de los cilindros elementales. Sea $V_0$ sea el volumen, $L_0$ sea la superficie lateral, y $H_0$ sea la altura del cilindro inicial. Denotemos por $V_n$ , $L_n$ , $H_n$ la suma de los volúmenes, las superficies laterales y las alturas en el $n^{\rm th}$ generación, y finalmente por $V$ , $L$ y $H$ la suma ovaral de estas cantidades. Entonces se tienen las recursiones $$V_{n+1}=2\alpha^2\beta\> V_n\>,\qquad L_{n+1}=2\alpha\beta\> L_n\>,\qquad H_{n+1}=2\beta\> H_n\qquad(n\geq0)\ .$$ Por la fórmula de la suma de series geométricas se deduce que $$\eqalign{V&=\sum_{n=0}^\infty V_n={1\over 1-2\alpha^2\beta} V_0\>,\cr L&=\sum_{n=0}^\infty L_n={1\over 1-2\alpha\beta} L_0\>,\cr H&=\sum_{n=0}^\infty H_n={1\over 1-2\beta} H_0\>.\cr}\tag{1}$$ Ahora elige $\alpha$ , $\beta$ , $V_0$ , $L_0$ y $H_0$ adecuadamente de manera que se cumplan sus requisitos. Tenga en cuenta que no puede elegir $\alpha$ y $\beta$ de forma independiente y arbitraria ya que las variables iniciales $V_0=\pi R_0^2H_0$ , , $L_0=2\pi R_0H_0$ y $H_0$ tienen que satisfacer la identidad $L_0^2=4\pi V_0H_0$ .

Si sólo prevé $N$ generaciones entonces las fórmulas $(1)$ tienen que ser sustituidos por $$\eqalign{V&=\sum_{n=0}^{N-1} V_n={1-(2\alpha^2\beta)^N\over 1-2\alpha^2\beta} V_0\>,\cr L&=\sum_{n=0}^{N-1} L_n={1-(2\alpha\beta)^N\over 1-2\alpha\beta} L_0\>,\cr H&=\sum_{n=0}^{N-1} H_n={1-(2\beta)^N\over 1-2\beta} H_0\>.\cr}$$ En este caso $\alpha$ , $\beta$ y $N$ mejor que no sean incógnitas en el proceso de diseño, sino parámetros fijados de antemano.