Demuestre que si $\lfloor x+a \rfloor$ = $\lfloor x+b \rfloor, \forall x \in \Bbb R$ entonces $a=b$ ; está demostrando que $x+a=x+b$ ¿Suficiente?

Question

Si demuestro que $x+a=x+b$ sólo si $a=b$ ¿eso demuestra que lo anterior también es cierto?

$x+a=x+b \iff x+a-x-b=0 \iff a-b=0 \implies b=a$ ¿también es bueno esto?

Answer 1

Ese argumento no va a funcionar, ya que en ningún momento estás utilizando ninguna propiedad de la función suelo.

Lo que funcionará es algo así (sólo una pista):

Si $a \ne b$ entonces podemos suponer (sin pérdida de generalidad) que $a < b$ y luego podemos tomar algunas $y$ tal que $a < y < b$ . ¿Puede entonces encontrar alguna expresión para $x$ que se asegurará de que $x+a$ y $x+b$ ¿tendrá diferentes partes enteras?

Answer 2

Sea [x] la parte entera de x,

[x+a] = [x+b] para todo real x => b-1 < [x+a]-x <= b y a-1 < [x+b]-x <= a para todo real x esto significa que b-1 <= a-1 y a-1 <= b-1 por lo que a = b.