Me gustaría saber si siempre es posible encontrar un ideal unidimensional en un anillo conmutativo local... en realidad me interesa encontrar una curva que pase por un punto de un esquema (localmente). Si el anillo es de dimensión finita debería ser obvio, pero ¿alguien conoce la situación en anillos más generales?
Respuestas
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Dado tu comentario sobre las curvas supongo que por un ideal unidimensional te refieres a un ideal tal que el anillo mod este ideal es unidimensional.
La respuesta es la siguiente: si supones que tu anillo es noeteriano sí, si no, no.
Dejemos que $(A,m)$ sea un anillo local.
Caso 1 : $A$ es noetheriano. Tomemos el conjunto de ideales primos distintos de $\mathfrak m$ . Por la suposición noetheriana, este conjunto tiene un (posiblemente más de un) elemento maximal. Llamémosle $\mathfrak p$ . Entonces el anillo de cociente $A/ \mathfrak p$ es un dominio local que tiene exactamente dos ideales primos, por lo que tiene dimensión uno.
Caso 2 : $A$ no es necesariamente noeteriano. Karl Schwede construye un ejemplo en este documento que tiene una única cadena infinita de ideales primos $(0)\subset \mathfrak p_1\subset \mathfrak p_2\subset \dots \subset \mathfrak m\subset A$ . Lo hace para exhibir el esquema $(\mathrm{Spec} A)\setminus\mathfrak m$ como un esquema sin punto cerrado, pero también funciona aquí. Como todos los ideales primos de $A$ aparecen en esa cadena y hay infinitas "por encima" de cualquiera de ellas excepto $\mathfrak m$ este anillo no tiene un ideal primo "de dimensión uno". De hecho, si se toma cualquier primo que no sea $\mathfrak m$ te da un anillo cociente de dimensión infinita. Esto implica que si el anillo cociente por cualquier ideal es de dimensión finita, entonces tiene que ser de dimensión 0: Tomemos el cociente, si tiene dimensión finita entonces el único ideal primo que puede tener es la imagen de $\mathfrak m$ y, por tanto, su dimensión es 0.
AviD
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La respuesta anterior dice que hay un anillo tal que para cualquier ideal primo no máximo hay un ideal primo no máximo que lo contiene. De hecho, un anillo de valoración con infinitos productos de grupos de enteros como grupo de valoración es un ejemplo. Un artículo sobre el espacio espectral de los anillos conmutativos escrito por Hochster nos dice que también hay un anillo con un espacio espectral cuyo orden es simplemente el inverso del espacio espectral de un anillo dado. Así que también existe un anillo tal que para cualquier ideal primo no mínimo existe otro ideal primo no mínimo que está contenido en él. Es decir, existe un anillo que no tiene ningún primo de altura 1.
