Prueba del centro de $GL(2,\mathbb R)$

Question

Estoy examinando una prueba que: $Z\bigl(GL(2,\mathbb R)\bigr)= \left\{ \pmatrix{ a & 0 \\ 0 & a } \,\middle|\, a \in \mathbb R\setminus\{0\} \right\} $ , donde $Z$ denota el centro del grupo lineal general $GL(2,\mathbb R)$ .

Tengo una pregunta sobre parte de esta prueba:

Supongamos que tenemos una matriz de la forma $aI$ donde $I$ es el $2 \times 2$ matriz de identidad, entonces para cualquier $A \in GL(2,\mathbb R)$ :

$(aI)A=aA=Aa=A(aI)$ *

Por lo tanto, dicha matriz se encuentra en $Z(GL(2,\mathbb R))$ .

¿Por qué en * podemos asumir $aA=Aa$ ? ¿Es porque $a$ es la matriz de identidad y $A$ es invertible por lo que estas propiedades implican conmutatividad multiplicativa?

Perdona si es una pregunta trivial, pero la ayuda sería estupenda.

Answer 1

En realidad, $Aa$ no es una buena elección de notación, pero si quieres usarla, te sugiero que definir $Aa$ como si fuera igual a $aA$ .

De todos modos, observe que ambos $(a\operatorname{Id})A$ y $A(a\operatorname{Id})$ son iguales a $aA$ .

Answer 2

Esto se deduce del hecho de que $a$ es un escalar (no la matriz identidad).

Answer 3

Estoy de acuerdo con José en que no debemos pensar en la multiplicación escalar por la izquierda y en la multiplicación escalar por la derecha: sólo hay una multiplicación escalar. Esta multiplicación escalar (que escribiré por la izquierda) tiene sin embargo la siguiente propiedad muy útil (relación con la multiplicación matricial):

$$(aA)B = a(AB) = A(aB)$$

Para todas las matrices $A, B$ independientemente de si se desplazan o no. Utilizando esto y combinándolo con $IX = XI$ para todos $X$ tienes tu respuesta:

$$(aI)A = I(aA) = (aA)I = A(aI)$$

donde las dos igualdades exteriores son instancias de la "propiedad útil" de la multiplicación escalar y la igualdad interior es simplemente $I$ viajar con todo.