Convergencia de las medidas de Lebesgue-Stieltjes inducidas por funciones puntualmente convergentes de variación acotada

Question

Dejemos que

• $a,b\in\mathbb R$ avec $a<b$
• $E$ ser un $\mathbb R$ -Espacio Banach
• $g:[a,b]\to E$ ser de variación acotada y derecha-continua

Para cualquier $g$ dejar $\mu_g$ denota la única medida (vectorial) sobre $\mathcal B((a,b])$ avec $$\mu_g((s,t])=g(t)-g(s)\;\;\;\text{for all }a\le s\le t\le b\;.\tag1$$

Ahora, supongamos que $g_n:[a,b]\to E$ es de variación acotada y continua a la derecha para $n\in\mathbb N$ tal que $$\left\|g(t)-g_n(t)\right\|_E\xrightarrow{n\to\infty}0\;\;\;\text{for all }t\in[a,b]\tag2$$

Quiero concluir $$\left\|\mu_g(A)-\mu_{g_n}(A)\right\|_E\xrightarrow{n\to\infty}0\;\;\;\text{for all }A\in\mathcal B((a,b])\;.\tag3$$

Claramente, $$\left\|\mu_g((s,t])-\mu_{g_n}((s,t])\right\|=\left\|(g(t)-g(s))-(g_n(t)-g_n(s))\right\|_E\xrightarrow{n\to\infty}0\tag4$$ para todos $a\le s\le t\le b$ y por lo tanto $$\nu_g((s,t]):=\lim_{n\to\infty}\mu_{g_n}((s,t])\;\;\;\text{for }a\le s\le t\le b$$ está bien definida y coincide con $\mu_g$ en el semirremolque $$\mathcal H:=\left\{(s,t]:a\le s\le t\le b\right\}$$ que genera $\mathcal B((a,b])$ .

Una rápida búsqueda en Google dio como resultado el Teorema de Vitali-Hahn-Saks que parece ser aplicable. Sin embargo, arriba sólo he mostrado la convergencia de $(\mu_{g_n}(A))_{n\in\mathbb N}$ para $A\in\mathcal H$ mientras que las suposiciones del teorema incluyen la convergencia para todo $A\in\mathcal B((a,b])$ .

Entonces, ¿cómo podemos mostrar esa convergencia? ¿Y existe una prueba elemental que evite el uso del teorema mencionado?

Answer 1

La convergencia no se mantiene ni siquiera para $E=\mathbb R.$ Dejemos que $[a,b]=[0,1],$ dejar $g=0$ y que $g_n(x)=1_{1-1/n\leq x< 1}(x)$ (la función indicadora de $[1-1/n,1)$ ). Todas estas funciones son continuas por la derecha y de variación acotada, y $g_n\to g$ en el sentido de la palabra. Sea $A=\{1-1/2n\;\vert\;n\in\mathbb N\}.$ Entonces $\mu_{g_n}(A)$ es $1$ si $n$ es par y $0$ de otra manera, por lo que no converge.