Calcule qué función se aproxima con el polinomio de Lagrange

Question

Me gustaría saber qué estima la suma y demostrar que estima esa función. $$\sum_{j=0}^ml_j(x)*x_j^k=?$$ A partir de los polinomios de interpolación de Lagrange sabemos que $$l_k(x) = \prod_{i=0}^m\frac{x-x_j}{x_m-x_j}$$

La suma estima el $x^k$ según mi suposición, pero cómo puedo demostrar que estos polinomios de interpolación de Lagrange estiman el $f(x)=x^k$ ¿función?

Answer 1

Supongamos que quieres escribir $$ l_{\,j} (x) = \prod\limits_{0\, \le \,i\, \ne \,j\, \le \,m} {{{x - x_{\,i} } \over {x_{\,j} - x_{\,i} }}} \quad \left| {\;x_{\,0} \ne x_{\,1} \ne \cdots \ne x_{\,m} } \right. $$ El $l_{\,j} (x)$ son polinomios en $x$ , de grado $m$ que se evalúan como $1$ en ${x_{\,j} }$ y son nulos en los otros puntos.
Si se combinan con los valores que un polinomio de grado $k <=m$ asume $x_{\,0} ,x_{\,1} , \cdots ,x_{\,m} $ obtendrás ese polinomio.

Así que $$ \quad x^{\,k} = \sum\limits_{0\, \le \,j\, \le \,m} {l_{\,j} (x)\;x_{\,j} ^{\,k} } \quad $$ si $k<=m$