Calcular la integral (análisis complejo mediante residuos)

Question

¡Empecé el análisis complejo hace algunas semanas y ahora estoy haciendo una revisión y me encontré con esta integral! El problema en cuestión ya está resuelto en mi sesión de ejercicios pero había algunos pasos que no entendí. Bien, así es como va el problema

Calcule la integral dado que $A=\{z\in C: \frac 12 \leq |z| \leq2, |Im(z)| \le |Re(z)|\}$

$$\int_{\partial{A}}{\frac 1{(z^2-z)^2}dz}$$

Así que primero encuentras las singularidades, ¿verdad? $z_0$ =0 y $z_1$ =1

Ambos son polos del orden 2

$z_0$ =0 $\notin$ ¿Así que ni siquiera lo consideramos? Corrígeme si me equivoco

Así que el residuo de $z_1=1$ es $$Res(f_1,1)=???$$ Aquí salta directamente al cálculo del límite. Esto es lo que hace.

$$ Res(f_1,1)=\lim_{z\to1} \frac d{dz} \left[\frac 1{z^2}\right] \ldots=-2\implies \int_{\partial{A}}{\frac 1{(z^2-z)^2}dz}=-4\pi i $$

Lo que no entiendo es ¿Cómo llegó a la parte del límite? ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Consideremos una función que tiene un polo de orden 2 en $z_{0}$ . Está en la forma: $$f(z)=\frac{a_{-2}}{(z-z_{0})^2}+\frac{a_{-1}}{(z-z_{0})}+a_0+a_{1}(z-z_0)....$$

Nuestro objetivo es encontrar el residuo en $z_{0}$ (es decir) $a_{-1}$ . Así que multiplicamos ambos lados por $(z-z_0)^2$ para separar $a_{-1}$

$$(z-z_0)^2f(z)=a_{-2}+a_{-1}(z-z_0)+a_{0}(z-z_0)^2....$$ Diferenciando con respecto a $z$ en ambos lados: $$\frac{d}{dz}[(z-z_0)^2f(z)]=a_{-1} + 2a_{0}(z-z_{0})...$$ Así que ahora, si $z\to z_0$ todos los términos excepto $a_{-1}$ se convierte en $0$ . $$a_{-1}=\lim_{z\to z_0}\frac{d}{dz}[(z-z_0)^2f(z)]=Res(f,z_{0})$$ Así que en su caso $Res(f,1)$ es: $$\lim_{z\to 1}\frac{d}{dz}(z-1)^2\frac{1}{z^2\cdot(z-1)^2}=\lim_{z\to 1}\frac{d}{dz}\frac{1}{z^2}=-2$$