Dejemos que $G$ sea un grupo, $H$ sea un subgrupo de $G$ y $h$ sea un elemento fijo de $G$ .

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo, $H$ sea un subgrupo de $G$ y $h$ sea un elemento fijo de $G$ . Demuestre que el subconjunto $gHg^{-1}=\{ghg^{-1}:h\in H\} $ es un subgrupo de $G$ .

Conozco las pruebas de uno y dos pasos para los subgrupos, pero no sé cómo aplicar ninguna de ellas, ya que no estoy seguro de cuál es la inversa.

Answer 1

Por la inversa, $$ (ghg^{-1})(gh^{-1}g^{-1})=gh(g^{-1}g)h^{-1}g^{-1}=ghh^{-1}g^{-1}=e. $$ La elección $h=e$ rinde $e\in gHg^{-1}$ y la multiplicación es sencilla como la anterior, cancelando el $gg^{-1}$ plazo.

Answer 2

Estas son las tres pruebas que hay que hacer, y cómo hacerlas en este específico caso.

1. Es $e$ contenida en $gHg^{-1}$ ? Sí, ya que $e = geg^{-1}\in gHg^{-1}$ .
2. Es $gHg^{-1}$ ¿multiplicativamente cerrado? Sí, ya que si $gag^{-1}, gbg^{-1} \in gHg^{-1}$ entonces tenemos $(gag^{-1})(gbg^{-1}) = ga(g^{-1}g)bg^{-1}= g(ab)g^{-1}\in gHg^{-1}$ .
3. Es, para cualquier elemento $gag^{-1}\in gHg^{-1}$ la inversa $(gag^{-1})^{-1}$ contenida en $gHg^{-1}$ ? Sí, ya que para cualquier producto $kl$ en cualquier grupo, $(kl)^{-1} = l^{-1}k^{-1}$ (esto se puede ampliar fácilmente a tres elementos), tenemos $$ (gag^{-1})^{-1} = (g^{-1})^{-1}a^{-1}g^{-1} = ga^{-1}g^{-1} \in gHg^{-1} $$