Yo dividiría la prueba en varios pasos.
Paso 1: si $f \in C(T)$ entonces la serie de Fourier de $f$ es uniformemente sumable a Cesaro $f$
El $N$ La suma de la serie de Fourier se define como
$$ \sigma_N f := \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N-1} S_N f \quad \text{where} \quad S_N f = \sum_{n = -N}^N \hat{f}(n) e^{inx} $$
Es un ejercicio rutinario para probar $\sigma_N f = f * F_N$ , donde $F_N$ es el Núcleo de Fejer :
$$ F_N(x) = \frac{ \sin^2 (Nx/2) }{ N \sin^2 (x/2) } $$
La secuencia de núcleos de Fejer $\{F_N\}_{N=1}^\infty$ es un identidad aproximada en el sentido de que:
- $ \int_T F_N(x) dx = 1 $ para todos $N$
- $ \sup_N ||F_N||_{L^1} < \infty $
- para cualquier $\delta > 0$ tenemos $$ \lim_{N \to \infty} \int_{T \setminus \{|x| < \delta\} } |F_N(x)| dx = 0 $$
Es un teorema bien conocido en el análisis de Fourier que si $f \in C(T)$ y $\{F_N\}_{N=1}^\infty$ es una identidad aproximada, entonces $f * F_N$ converge a $f$ uniformemente. Así, la serie de Fourier de $f$ es uniformemente sumable a Cesaro $f$ .
Paso 2: Los polinomios trigonométricos son densos en $C(T)$
Otro ejercicio rutinario es demostrar la siguiente identidad:
$$ \sigma_N f = \sum_{n=-N}^N \left( 1 - \frac{|n|}{N} \right) \hat{f}(n) e^{inx} $$
lo que implica $ \sigma_N f \in \operatorname{span}\{e^{inx} : n \in \mathbb{Z}\}$ . Pero en el paso 1, $\sigma_N f$ converge a $f$ uniformemente para cualquier $f \in C(T)$ . Así, el subespacio $ \operatorname{span}\{e^{inx} : n \in \mathbb{Z}\} $ es denso en $C(T)$ en la norma uniforme.
Paso 3: si $f \in C(T)$ y $\hat{f}(n) = 0$ para todos $n$ entonces $f = 0$
La suposición $\hat{f}(n) = 0$ para todos $n$ implica
$$ \int_T \overline{f(x)} e^{inx} dx = 0 \quad \forall n $$
lo que implica además $ \int_T \overline{f(x)} p(x) dx = 0 $ para cualquier polinomio trigonométrico $p$ .
Dejemos que $f \in C(T)$ y $\epsilon > 0$ . Por el paso 2, existe un polinomio trigonométrico $p_\epsilon$ tal que $ ||f - p_\epsilon||_\infty < \epsilon $ . Así,
\begin{align*} \int_T |f(x)|^2 dx &= \int_T \left( \overline{f(x)} (f(x) - p_\epsilon(x)) + \overline{f(x)} p_\epsilon(x) \right) dx \\ &= \int_T \overline{f(x)} (f(x) - p_\epsilon(x)) dx \\ &\leq \int_T |\overline{f(x)}| ||f - p_\epsilon||_\infty dx \\ &\leq \epsilon ||f||_{L^1} \end{align*}
Desde $||f||_{L^1} < \infty$ y $\epsilon > 0$ es arbitraria, $ \int_T |f(x)|^2 dx = 0$ . Por continuidad, tenemos $f = 0$ .
Paso 4: si $f \in L^1(T)$ y $\hat{f}(n) = 0$ para todos $n$ entonces $f = 0$ a.e.
En este caso, defina $ F(x) = \int_{-\pi}^x f(t) dt $ para $ -\pi \leq x \leq \pi $ . Claramente, tenemos
$$ \int_T \int_{-\pi}^x |f(t) e^{-inx}| dt dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \int_{-\pi}^x |f(t)| dt dx < \infty $$
Esto nos permite utilizar el teorema de Fubini para calcular
\begin{align*} \hat{F}(n) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( \int_{-\pi}^x f(t)dt \right) e^{-inx} dx \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \int_t^\pi f(t) e^{-inx} dx dt \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) \frac{e^{-int} - (-1)^n}{in} dt \\ &= \frac{\hat{f}(n) - (-1)^n \hat{f}(0)}{2\pi in} = 0 \end{align*}
Desde $F$ es absolutamente continua, tenemos $F = 0$ por el paso 3. Finalmente, por el teorema de diferenciación de Lebesgue, $f = F' = 0$ a.e.
