En grupo $G$ , $xyx^{-1}$ y $y$ tienen el mismo orden.

Question

Estoy tratando de probar el resultado de que en un grupo $G$ para cualquier $x,y \in G$ El orden de $xyx^{-1}$ es el mismo que el orden de $y$ . Esto es lo que tengo.

Supongamos que el orden de $y$ es finito, llámalo $n$ . Así que $n$ es el menor número entero positivo para que $y^n = e$ . Si $n = 1$ , $y^1 = e$ Así que $xyx^{-1} = xex^{-1} = xx^{-1} = e$ . Si $n \geq 2$ tenemos $$(xyx^{-1})^n = (xyx^{-1})(xyx^{-1}) \ldots (xyx^{-1}) = xy(x^{-1} x)y(x^{-1} x) \ldots (x^{-1} x)(yx^{-1}) = xy^n x^{-1} = xx^{-1} = e.$$
Supongamos, en cambio, que $(xyx^{-1})$ tiene orden $n$ Así que $n$ es el menor número entero positivo para que $(xyx^{-1})^n = e$ . Si $n = 1 $ entonces $xyx^{-1} = e$ . Multiplicando por $x^{-1}$ a la izquierda y $x$ a la derecha da $y = x^{-1} x = e$ Así que $y$ tiene orden $1$ . Si $n \geq 2$ tenemos: \begin{align*} (xyx^{-1})(xyx^{-1}) \ldots (xyx^{-1}) & = e \\ xy(x^{-1} x)y(x^{-1} x)y(x^{-x} x) \ldots (yx^{-1}) & = e \\ xy^n x^{-1} = e \end{align*} Multiplicando por $x^{-1}$ a la izquierda y $x$ a la derecha da $y^n = x^{-1} x = e$ Así que $y$ tiene orden $n$ .

Lo primero que me cuesta es demostrar que este $n$ es el más pequeño $n$ . Lo segundo es que no encuentro una forma mejor y más rigurosa de hacerlo que la $\ldots$ prueba. No consigo que la inducción funcione.

Supongamos que el orden de $y$ es infinito. Así que $y^n \neq e$ para cualquier número natural $n$ . Por contradicción, supongamos que $xyx^{-1}$ tiene un orden finito, por lo que para algunos $m$ , $$(xyx^{-1})^m = e.$$ Por el mismo álgebra anterior, obtenemos $y^m = e$ , una contradicción con $y$ teniendo un orden infinito.

Supongamos que el orden de $xyx^{-1}$ es infinito, por lo que $(xyx^{-1})^n \neq e$ para todos los números naturales $n$ . Si $y$ tiene un orden finito $m$ , entonces por el primer conjunto de trabajo, obtenemos $(xyx^{-1})^m = e$ , una contradicción con que el orden sea infinito.

Answer 1

Bueno, eso se puede demostrar de forma mucho más directa, simplemente notando que por cada $k \in \mathbb{N}$ se tiene la equivalencia $$(xyx^{-1})^k=e \text{ }\Longleftrightarrow \text{ }y^k=e$$

Answer 2

Una pista: Un hecho sobre los automorfismos es que preservan el orden de los elementos. Esto se aplica en particular a cualquier automorfismo interior. Así que quizás sólo hay que demostrar que $g\mapsto xgx^{-1}$ es un automorfismo, para cualquier $x\in G$ .

Answer 3

Lema . $(xyx^{-1})^n=xy^nx^{-1}$ por cada $n\in \Bbb N$ .

Prueba . Inducción en $n$ . La afirmación es válida para $n=1$ ; déjenlo en manos de $n$ (hipótesis inductiva); entonces, para $n+1$ nos encontramos con que: $(xyx^{-1})^{n+1}=(xyx^{-1})^nxyx^{-1}\space\stackrel{(i.h.)}{=}\space xy^nx^{-1}xyx^{-1}=\space xy^neyx^{-1}=xy^nyx^{-1}=xy^{n+1}x^{-1}$ . $\space\space\Box$

Corolario 1 . $o(xyx^{-1})\mid o(y)$ .

Prueba . Por el lema, $(xyx^{-1})^{o(y)}=xy^{o(y)}x^{-1}=xex^{-1}=xx^{-1}=e$ . $\space\space\Box$

Corolario 2 . $o(y)\mid o(xyx^{-1})$ .

Prueba . Por el lema, $e=(xyx^{-1})^{o(xyx^{-1})}=xy^{o(xyx^{-1})}x^{-1}$ De ahí que $y^{o(xyx^{-1})}=x^{-1}ex=x^{-1}x=e$ . $\space\space\Box$

Por los corolarios 1 y 2, $o(xyx^{-1})=o(y)$ .