Mostrar que $\Sigma(\mathbb{R} P^3)$ no es homotopy equivalente a $\Sigma(\mathbb{R} P^2 \vee S^3)$

Question

Actualmente estoy estudiando para mi examen de calificación en topología algebraica, y estoy mirando de edad de las preguntas del examen. La primera parte de la pregunta era para mostrar que $\mathbb{R} P^3$ no es homotopy equivalente a $\mathbb{R} P^2 \vee S^3$, que es bastante sencillo hacer uso de cualquiera de cubrir los espacios o la cohomology de los anillos.

La segunda parte de la pregunta era para mostrar que $\Sigma(\mathbb{R} P^3)$ no es homotopy equivalente a $\Sigma(\mathbb{R} P^2 \vee S^3)$. No puede usar la cohomology anillos para distinguirlos más (como el de la copa de la estructura del producto es trivial), y no sé de ningún tipo de herramienta para calcular homotopy grupos de suspensiones sin una cierta cantidad de 'conectividad'.

Basado en una sugerencia dada en la pregunta, me attemped para distinguir estos espacios mediante el cálculo de la Bockstein homomorphism $\beta : H^*(X,\mathbb{Z}_2) \to H^{*+1}(X,\mathbb{Z}_2)$ para ambos espacios procedentes de la corta secuencia exacta $0 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_2 \to 0$, y usando el hecho de que el Bockstein desplazamientos con la suspensión del isomorfismo en cohomology. Sin embargo, para ambos espacios I calculadas $\beta_1 : H^1(X,\mathbb{Z}_2) \to H^2(X,\mathbb{Z}_2)$ fue un isomorfismo, mientras que $\beta_2 : H^2(X,\mathbb{Z}_2) \to H^3(X,\mathbb{Z}_2)$ fue el cero mapa.

Es esta la forma en que se debe tratar de distinguir estos espacios, o hay algo más que obvio?

Answer 1

Las suspensiones $\Sigma({\mathbb R}P^3)$ $\Sigma({\mathbb R}P^2\vee S^3)$ no homotopy equivalente y puede ser distinguida por la plaza de Pontryagin $H^2(X;{\mathbb Z}_2)\to H^4(X;{\mathbb Z}_4)$. Una referencia de esto es el libro "Combinatoria Homotopy y 4-Dimensional Complejos" de Hans Baues, donde este hecho se indica en un ejemplo en la página 20 y demostró más tarde en el libro utilizando la teoría que allí se desarrolla. Baues también cita Hilton del libro "Homotopy la Teoría y la Dualidad" para otra prueba. Me imagino que este hecho era conocido a J. H. C. Whitehead, cuando escribió sus dos papeles "simplemente conectado 4-dimensional poliedros" (1949) y "Una cierta secuencia exacta" (1950) que desarrollan una clasificación general de simplemente conectado a 4-complejos. También pueden haber sido conocido antes de Pontryagin. Me pregunto si hay otras modernas exposiciones de este material.

Si uno suspende de nuevo a$\Sigma^2({\mathbb R}P^3)$$\Sigma^2({\mathbb R}P^2\vee S^3)$, a continuación, estos espacios se vuelven homotopy equivalente. La fijación de mapa de la parte superior de la célula de $\Sigma^n{\mathbb R}P^3$ da un elemento de $\pi_{n+2}(\Sigma^n{\mathbb R}P^2)$ $n\geq 2$ este grupo puede ser calculada a ser ${\mathbb Z}_2$ generado por la suspensión de Hopf mapa de $S^{n+2}\to S^{n+1}\subset \Sigma^n{\mathbb R}P^2$ observando el largo de la secuencia exacta de (estable) homotopy grupos para la cofiber secuencia $S^{n+1}\to S^{n+1}\to \Sigma^n{\mathbb R}P^2$ donde el primer mapa tiene grado 2. Por lo tanto, hay dos posibles adjuntar mapas para la celda superior de $\Sigma^n{\mathbb R}P^3$, hasta homotopy, y que se distinguen por el hecho de la Steenrod plaza de $Sq^2$ es trivial en $H^{n+1}(\Sigma^n{\mathbb R}P^3;{\mathbb Z}_2)$ o no, usando el hecho de que $Sq^2$ es trivial en la asignación de cono de la suspensión de Hopf mapa. Para ${\mathbb R}P^3$ la acción de la $Sq^2$ es trivial para la dimensión razones, por lo cual la acción es también trivial para$\Sigma^n{\mathbb R}P^3$, por lo que la parte superior de la célula debe estar conectado trivialmente.

Algunos de los más interesantes de la información: El mapa de Hopf $S^3\to S^2$ tiene una infinidad de orden, pero cuando cuando damos un 3-cell $S^2$ un mapa de grado 2 para formar $\Sigma{\mathbb R}P^2$, la de Hopf mapa aún genera $\pi_3(\Sigma{\mathbb R}P^2)$, pero ahora es de orden 4, en lugar de 2 como uno podría suponer. Más generalmente, si asignamos el 3-cell por un mapa de grado $d$, a continuación, en el resultado 3-complejo el mapa de Hopf tiene orden de $2d$ si $d$ es aún, pero el fin de $d$ si $d$ es impar. Volviendo al caso que nos ocupa, tenemos $\pi_3(\Sigma{\mathbb R}P^2)={\mathbb Z}_4$ y la fijación de mapa de las 4 celdas de $\Sigma{\mathbb R}P^3$ es el elemento de orden 2 en esta ${\mathbb Z}_4$. (No puede ser un generador desde $Sq^2$ actos trivialmente.)