Dejemos que $f:A \to B$ y $g:C\to D$ . Demostrar que $f \times g$ es una función de $A \times C$ a $B \times D$ .

Question

Dejemos que $f:A \to B$ y $g:C \to D$ . Definir $$f \times g = \{((a,c),(b,d)) : (a,b) \in f\text{ and }(c,d) \in g\}.$$ Demostrar que $f \times g$ es una función de $A \times C$ a $B \times D$ .

Mi prueba (hasta ahora):

Dejemos que $(a,c) \in A \times C$ entonces $a \in A$ y $c \in C$ .

Dejemos que $(b,d) \in B \times D$ , $b \in B$ y $d \in D$ .

Si $p \in A \times C$ entonces $p=(a,c)$ .

Definir $(f \times g)(p)$ como $(f \times g)(p) = (f \times g)(a,c) = (f(a),g(c)) = (b,d)$ Sin embargo $b \in B$ y $d \in D$ y $(b,d)\in B \times D$ .

Esto muestra $f \times g$ es una función de $A \times C$ a $B \times D$ como $(f \times g) : A \times C\to B \times D$ entonces $(a,b) \to (f(a),g(c))$ .

Sé que no está bien escrito, pero me preguntaba si mi proceso de pensamiento hasta ahora tiene sentido o si accidentalmente se me pasó algo. Además, no estoy seguro de cuál puede ser el siguiente paso. Como nota al margen, me preocupa que esto no funcione para la definición dada de $f \times g$ .

Answer 1

Te falta algo muy importante: la definición de una función. El conjunto $f \times g$ se define como una relación, concretamente una relación binaria entre los conjuntos $A \times C$ y $B \times D$ . Las funciones son un tipo específico de relación. En concreto,

Una relación $f \subseteq X \times Y$ entre $X$ y $Y$ es una función si, para todo $x \in X$ existe un único $y \in Y$ tal que $(x, y) \in f$ .

Debe utilizar esta propiedad en su prueba, ya que $f$ y $g$ se supone que ambos tienen esta propiedad, así como demostrar esta propiedad para $f \times g$ .

En su prueba, elude un poco esto definiendo de forma equivalente $f \times g$ en términos de notación de funciones, específicamente definiendo $(f \times g)(p)$ para todos $p \in A \times C$ . Como técnica de prueba, está justo en el límite entre lo aceptable y lo inaceptable. Entierra la lógica simplemente por un cambio de notación. Al usar la notación de funciones, estás asumiendo implícitamente $f \times g$ es una función. En su lugar, podría definir una nueva función $h : A \times C \to B \times D$ diciendo $h(a, c) := (f(a), g(c))$ pero entonces hay que demostrar que la función $h$ es igual a la relación $f \times g$ .

En cualquier caso, algo falta en su enfoque. No has asumido nada falso o difícil de demostrar, pero hay que añadir algunos pasos para rectificar la prueba. Dicho esto, te recomendaría encarecidamente que lo demostraras a partir de la definición anterior, porque tengo la firme sospecha de que aún no te sientes lo suficientemente cómodo con ella.

Así que, permíteme empezar aquí. Supongamos que $(a, b) \in A \times B$ . Entonces $a \in A$ y $b \in B$ . Desde $f : A \to C$ es una función, debe existir alguna $c \in C$ tal que $(a, c) \in f$ . ¿Puedes terminar el resto?

Answer 2

Lo que tienes que comprobar es:

1. Es $f\times g$ un subconjunto de $(A\times C)\times(B\times D)$ ?
2. Lo hay, por cada $(a,c)\in A\times C,$ algunos $(b,d) \in (B\times D)$ tal que $((a,c), (b,d)) \in f\times g$ ?
3. ¿Es la pareja $(b,d)$ en el punto anterior único para cada $(a,c)\in A\times C$ ?