Espacio lineal normado

Question

En el Análisis Complejo de Walter Rudin, dice que por definición $$\|\Lambda\|=\text{sup}\{\|\Lambda x\|: x\in X, \|x\|\leq1\}$$ y más tarde muestra que $\|\Lambda x\|\leq \|\Lambda\|\|x\|.$ Pero, lo único que sé es $\|\Lambda\|\geq\|\Lambda x\|$ .

Cómo demostrar que efectivamente $\|\Lambda x\|\leq \|\Lambda\|\|x\|.$

Answer 1

Si $x=0$ Esa desigualdad es trivial.

En los demás casos, $x=\lVert x\rVert\times\frac x{\lVert x\rVert}$ . Desde, $\left\lVert\frac x{\lVert x\rVert}\right\rVert=1$ y $\Lambda$ es lineal, $$\lvert\Lambda x\rvert=\lVert x\rVert\left\lvert\Lambda\frac x{\lVert x\rVert}\right\rvert\leqslant\lVert x\rVert\lVert\Lambda\rVert.$$

Answer 2

Puede demostrar que $$ \|\Lambda\|=\sup_{\substack{x\in X\\x\ne0}}\frac{\|\Lambda x\|}{\|x\|} $$ al notar que $$ \left\|\frac{1}{\|x\|}x\,\right\|=1 $$