Análisis matemático - Secuencia de funciones - cálculo de la suma de la serie

Question

Consideremos la secuencia de funciones $f_n:[0,1]$ , $f_n:=(-1)^n(1-x)x^n$ , $n=0,1,2,\ldots$ , $0\le x\le1.$

a. Encuentre la suma $\sum_{n=0}^\infty |f_n(x)|$

b. Demuestre que la serie $\sum_{n=0}^\infty |f_n(x)|$ no converge uniformemente en $[0,1]$ .

Busco cualquier ayuda/sugerencia. Gracias.

Answer 1

$$ \sum_{n=0}^N (1-x)x^n = \sum_{n=0}^N x^N - \sum_{n=0}^N (-x) x^n = \sum_{n=0}^N x^N - \sum_{n=0}^N x^{n+1}. $$ La última suma anterior $\displaystyle\sum_{n=0}^N x^{n+1}$ es $$ x^{0+1} + x^{1+x} + x^{2+1} + x^{3+1} + \cdots + x^{N+1} = \sum_{n=1}^{N+1} x^n. $$ Así que tenemos $$ \sum_{n=0}^N (\cdots\cdots) - \sum_{n=1}^{N+1} (\cdots\cdots) $$ $$ = \Big(n=0\text{ term}\Big) + \sum_{n=1}^N (\cdots\cdots) - \sum_{n=1}^N (\cdots\cdots) - \Big(n=N+1\text{ term}\Big) $$ $$ = \Big(n=0\text{ term}\Big) - \Big(n=N+1\text{ term}\Big) = x - x^{N+1}. $$ Ahora quieres $\lim\limits_{N\to\infty}$ de esa última expresión.

Cuando $x=1$ el límite es $0$ Cuando $x < 1$ el límite es $x$ . La discontinuidad puede utilizarse para demostrar que la convergencia no es uniforme.

Answer 2

Bien para (a) $(1-x)$ es solo una constante, saquémosla, solo tenemos $(1-x)\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n$ bueno, ¿qué es eso?

Obsérvese que si converge uniformemente, su límite es el mismo que el límite puntual. ¿a qué converge puntualmente? entonces toma un $\epsilon$ , no importa lo grande que sea $N$ Habrá algunos $x$ de manera que sea más que $\epsilon$ lejos del límite puntual