He visto la afirmación "Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base". ( Aquí en la página 5)
Estoy confundido sobre lo que esto me dice. Parece que no me dice nada: por definición, la dimensión de un espacio vectorial es el número de elementos de una base del mismo. Luego decir que un espacio vectorial es de dimensión finita es lo mismo que decir que tiene una base.
¿O hay otras definiciones de dimensión que el número de elementos de la base?
Una definición más general de dimensión es el número máximo de subespacios anidados: un espacio vectorial $V$ tiene dimensión $d$ si y sólo si $d$ es el mayor número tal que existen subespacios.
$$\{0\}\subsetneq V_1\subsetneq V_2\subsetneq\cdots\subsetneq V_d=V$$
Esto es útil para definir la dimensión de los módulos más generales.
De hecho, se puede suprimir lo de "finito-dimensional" para obtener la afirmación de que todo espacio vectorial tiene una base (esto requiere el Axioma de Elección), y entonces no hay ningún problema. O, de hecho, como señala Mark en los comentarios, la definición de "finito-dimensional" que se utiliza es que hay un conjunto de extensión finito, por lo que la afirmación te está diciendo que la existencia de un conjunto de extensión finito implica la existencia de una base finita.
Quizás un contexto más amplio sea valioso. Dejemos que $R$ ser un anillo conmutativo (la no conmutatividad no es relevante para el punto que estoy tratando de hacer) y $M$ a módulo sobre ella. Decimos que $M$ es generado finitamente si existe $m_1, ... m_n \in M$ tal que cada elemento de $M$ puede escribirse de la forma $$m = r_1 m_1 + ... + r_n m_n.$$
Cuando $R$ es un campo $k$ , un $R$ -es precisamente un $k$ -y un espacio vectorial finitamente generado $R$ -es precisamente un módulo de dimensión finita $k$ -espacio vectorial. (Nótese que puedo definir "dimensión finita" sin definir "dimensión").
Decimos que $m_1, ... m_n$ es un base de $M$ si es un conjunto generador que es linealmente independiente en el sentido de que si $$0 = r_1 m_1 + ... + r_n m_n$$
entonces $r_1 = ... = r_n = 0$ . Esto equivale a decir que cada elemento de $M$ es expresable de forma única como una suma de los $m_i$ . De forma abstracta, dice que el mapa natural $$R^n \to M$$
dado por el envío de $(r_1, ... r_n)$ a $r_1 m_1 + ... + r_n m_n$ es un isomorfismo de $R$ -módulos. Cuando $M$ tiene esta propiedad en la teoría de módulos, decimos que $M$ es un módulo gratuito.
Decir que todo espacio vectorial finito tiene una base es decir que todo módulo finitamente generado sobre un campo es libre. Puede ser útil ver por qué esto es falso para anillos más generales: por ejemplo, un $\mathbb{Z}$ -es sólo un grupo abeliano, y un $\mathbb{Z}$ -módulo como $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ( $p$ un primo) no puede ser libre. De hecho, ningún conjunto generador puede ser linealmente independiente ya que $pm = 0$ para todos $m$ .
En general, si $R$ es un anillo conmutativo y $I$ un no trivial ideal de ella, entonces $R/I$ nunca es gratis. Por lo tanto, los únicos anillos conmutativos $R$ para los que todo módulo finitamente generado es libre son los que no tienen ideales no triviales, y ésta es una de las varias formas equivalentes de definir un campo.
Cuando $R$ es no conmutativo, una cosa más asombrosa que puede salir mal es que los módulos libres pueden no tener número de base invariante .
En el documento que enlazas, se utiliza lo siguiente como definición de espacio finitamente dimensional.
Si un espacio vectorial $V$ es atravesado por un número finito de vectores, decimos que es de dimensiones finitas .
Por lo tanto, no sabemos a priori que todo espacio de dimensión finita (con respecto a esta definición) tiene una base, tenemos que demostrarlo.
Sólo después de demostrar que cada espacio de este tipo tiene una base finita y que dos bases cualesquiera tienen el mismo número de elementos, se puede utilizar $V$ tiene una base formada por un número finito de elementos como una definición equivalente de espacio de dimensión finita.
Creo que la definición de espacio de dimensión finita como el espacio que tiene un conjunto de extensión finito se utiliza con bastante frecuencia en los textos de introducción al álgebra lineal. (Entre otras cosas, se puede hablar de espacios de dimensión finita antes de definir la noción de base).
Incluso he visto algunos textos en los que se supone que la base tiene al menos un elemento, por lo que si se utiliza esa definición, entonces $\{0\}$ es un ejemplo de espacio de dimensión finita que no tiene base. (Es de dimensión finita porque está abarcado por el conjunto finito $\{0\}$ .)
Por supuesto, si ya domina el álgebra lineal, utilizará cualquiera de las definiciones equivalentes de espacio de dimensión finita casi automáticamente, detalles como éste son importantes sólo en el curso introductorio, cuando los estudiantes se encuentran con estas nociones por primera vez.
EDIT: Ahora me he dado cuenta de que esto ya estaba explicado en el artículo de Mark Bennet comentario arriba.
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