Probabilidad de ganar el combate de 2 jugadores de la serie de Warlords

Question

Hubo una antigua serie de juegos de PC llamada Warlords. Mi pregunta es determinar las posibilidades de ganar un combate allí.

Dos jugadores libran un combate con las siguientes reglas:

• Tienen una moneda desbalanceada con una probabilidad conocida de "p".
• La computadora lanza la moneda para determinar quién pierde una vida (el jugador uno con probabilidad "p", el jugador dos con probabilidad "1-p").
• El jugador uno comienza con X vidas.
• El jugador dos comienza con Y vidas.
• La moneda se lanza hasta que algún jugador pierde todas sus vidas. Él pierde.

¿Cuál es la probabilidad de ganar para un jugador dado X, Y, p?

Answer 1

Suponga que el jugador 1 tiene $X$ vidas y pierde la voltereta de la moneda con probabilidad $p$. Entonces la probabilidad de que pierda todo el juego es $$ p^X\sum_{j=0}^{Y-1}(1-p)^j\binom{X+j-1}{j},$$ podemos sumar todas las probabilidades de que el jugador 1 esté perdiendo todo el juego y el jugador 2 haya perdido $j$ vidas en total.

El coeficiente binomial representa el número de posiciones posibles de las pérdidas del jugador 2, asumiendo que el jugador 1 pierde en la ronda número $(Y+j)$.