¿Es posible demostrar que BoolAlg y CRing son regulares utilizando que Set es regular?

Question

He tenido que demostrar que la categoría de álgebras booleanas y la categoría de anillos conmutativos con unidad son regulares. El ejercicio también requiere que demuestre que Set es regular, así que tenía la impresión de que debería ser capaz de usar eso para ayudarme en la prueba de que BoolAlg y CRing son regulares. De hecho, he conseguido demostrar la completitud finita de estas dos categorías utilizando la existencia de objetos terminales, igualadores y productos binarios (todos los cuales se pueden construir utilizando sus homólogos en Set ) junto con un teorema del libro de Mac Lane.

Sin embargo, me cuesta demostrar que todos los pares de núcleos tienen coigualadores. Y no tengo ni idea de cómo demostrar que los epimorfismos regulares son estables bajo pullbacks, aparte de intentar hacerlo a mano. Por ejemplo, intentando demostrar que todo epimorfismo coiguala su par de núcleos. Que conste que no he tenido mucha suerte en ese frente, ya sea por falta de experiencia o por mi incapacidad de ver lo dolorosamente obvio.

Otra idea que se me ocurrió y que sólo funcionaría para BoolAlg es demostrar que todo epimorfismo es suryectivo como función entre conjuntos, y luego esperamos utilizar la regularidad de los epimorfismos en la categoría de conjuntos. He investigado un poco y, al parecer, los epimorfismos de las álgebras booleanas son efectivamente suryentes, pero no sé realmente cómo demostrarlo. Soy consciente de que esto no va a funcionar para CRing porque hay ejemplos de epimorfismos de anillos que no son suryentes.

Espero sus sugerencias y puntos de vista.

PD: ya que estamos, ¿cómo se define exactamente una categoría de álgebras en general? Conozco muchos ejemplos, pero no recuerdo haber visto nunca una definición general. Irónicamente, el término se utiliza mucho en libros y cursos de teoría de categorías.

Answer 1

Vas por buen camino. Lo que ocurre aquí es que las categorías de anillos conmutativos y álgebras booleanas son "concretas", es decir, tienen conjuntos con cierta estructura adicional para sus objetos, y morfismos de conjuntos que preservan esta estructura como morfismos. En tal situación, ser capaz de dar la estructura adecuada a las construcciones en conjuntos a menudo (pero no siempre) da la construcción adecuada en la categoría concreta.

Para construir los coecualizadores de los pares de núcleos, observe que el par de núcleos de $X\xrightarrow fY$ es el conjunto $K[f]=\{(x_1,x_2)\in X\times X:f(x_1)=f(x_2)\}$ que es una relación de equivalencia con una estructura apropiada (anillo o álgebra de Boole), y su coequiper como conjunto es el cociente por esta relación de equivalencia. Si puedes determinar una estructura apropiada en el conjunto de clases de equivalencia (por ejemplo, como un anillo o un álgebra booleana), y si lo defines de manera que las operaciones sobre las clases de equivalencia dependan sólo de los representantes, entonces estarás prácticamente hecho. (Si no recuerdo mal, la teoría de la "categoría de álgebras" muestra que esto siempre funciona).

Finalmente, la estabilidad de pullback de los epimorfismos regulares se desprenderá del caso de Conjunto porque lo que habrás demostrado es que ser un epimorfismo regular en anillos o álgebras booleanas es lo mismo que ser un epimorfismo regular en Conjunto.