Encuentre $4\int_{0.5}^{1} \int_{0.5}^{1} (xy) dx dy $

Question

Encuentra:

$I=4\int_{0.5}^{1} \int_{0.5}^{1} (xy) dx dy $

Creo que porque La primera y segunda integral de $0.5$ à $1$ Así que

$I =4[{{1} \over {4}} x^2 y^2]_{0.5}^{1}$

pero mi pregunta, ¿alguna respuesta verdadera, i o ii?

(i) $4[{{1} \over {4}} x^2 y^2]_{0.5}^{1}=1-{(0.5)}^2 {(0.5)}^2= {{15} \over {16}}$

o

(ii) $4[{{1} \over {4}} x^2 y^2]_{0.5}^{1}=[(1-{(0.5)}^2) y^2]_{0.5}^{1}=[(1-{(0.5)}^2)(1-{(0.5)}^2)]={{9} \over {16}} $ ?

Gracias a todos.

Answer 1

Recordemos que la forma de evaluar las integrales dobles es de adentro hacia afuera, no de una sola vez. Por lo tanto, tenemos $$4\int _{0.5}^1\int_{0.5}^1 xy dx dy = 4\int_{0.5}^1 \frac{1}{2}x^2y|_{0.5}^1dy = 2\int_{0.5}^1\frac{3}{4}ydy= \frac{9}{16}$$

Así que (ii) es la respuesta correcta. Más o menos. Esto sólo te dará la respuesta correcta para límites constantes, por lo que es mejor integrar simplemente utilizando el método anterior, que siempre funciona.

Answer 2

Su segunda solución es correcta. Primero se resuelve una integral y se ponen los valores límite. Luego la segunda integración y los valores límite rellenados.

Answer 3

La segunda es correcta, la evaluación es en realidad $$I=4\int_{0.5}^{1}y\int_{0.5}^{1}x\text{d}x\text{d}y=4\int_{0.5}^{1}y\left.\frac{x^2}{2}\right\vert_{0.5}^{1}\text{d}y=\frac{3}{2}\int_{0.5}^{1}y\text{d}y=\frac{3}{2}\left.\frac{y^2}{2}\right\vert_{0.5}^{1}=\frac{9}{16}$$