¿Cómo puedo encontrar la firma de una forma cuadrática? También ¿cómo puedo representar una forma cuadrática como una suma/diferencia de cuadrados?

Question

Por ejemplo $(x,y,z,t) = xy+ y^2+ yz+z^2+zt$

¿Cómo puedo representarlo como una suma y diferencia de cuadrados (es decir, en la forma $\sum a_iA_i^2$ ) y ¿cómo puedo encontrar su rastro?

O si tengo una forma cuadrática dada con la matriz \begin{bmatrix}0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{bmatrix} ¿cómo encuentro la firma de la forma cuadrática?

La solución de la primera es (2,2) y la segunda tiene múltiples casos pero no estoy seguro del proceso.

Gracias de antemano.

Answer 1

A toda forma cuadrática le corresponde al menos una matriz $A$ tal que $$q(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{y}$$ (con unicidad si $A$ se considera simétrica). La traza de la forma cuadrática es simplemente la traza de esa matriz. Si $\mathbf{x} = (x_1,x_2,\ldots,x_n)$ , entonces podemos ampliar $\mathbf{x}^TA\mathbf{y}$ en la forma

$$q(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n A_{ij}x_iy_j.$$

Ahora la traza de una matriz $A$ es simplemente la suma de sus elementos diagonales. A partir de nuestra forma de $q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ podemos encontrar esos elementos diagonales considerando el vector $\mathbf{x^{(k)}}$ con $x^{(k)}_i = \delta_{ik}$ para $k \in \{1,2,\ldots,n\}$ donde $\delta_{ik}$ es el delta de Kronecker. Tomando $q(\mathbf{x}^{(k)},\mathbf{x}^{(k)}) = A_{kk}$ . Suma estos para encontrar el rastro.