En econometría, por Hayashi, definieron el vector error de n observaciones en un $ (n \times K)$ función de regresión como:
$\epsilon = \begin{bmatrix}\epsilon_{1} \\\epsilon_{2} \\\vdots \\\epsilon_{n}\end{bmatrix}$ , donde $\epsilon_{i}$ es el término de error de la i-ésima observación,
y el vector x de dimensión K de la i-ésima observación como $x_{i} = \begin{bmatrix}x_{i1} \\x_{i2} \\\vdots \\x_{ik}\end{bmatrix}$
El libro dice que el momento de la cruz de dos variables aleatorias E[xy] es cero significa que estas dos variables aleatorias son ortogonales. No es difícil ver el punto usando [0,1] y [1,0] para comprobar su producto cruzado para la ortogonalidad.
Pero en el libro tiene una fórmula para el supuesto de exogeneidad estricta:
$E[x_{j}\epsilon_{i}] = \begin{bmatrix}x_{j1}\epsilon_{i} \\x_{j2}\epsilon_{i} \\\vdots \\x_{jk}\epsilon_{i}\end{bmatrix} = 0_{(K\times1)}$
Por lo tanto, aquí el $\epsilon_{i}$ es un elemento del $\epsilon$ y el momento cruzado para un $(k\times1)$ vector y un elemento de un vector, que son ortogonales, es un $(k\times1)$ 0 vector. Mi pregunta es que, ¿qué es un momento cruzado de dos variables aleatorias, es el valor esperado del producto interior? ¿Y debo ver el $\epsilon_{i}$ como un escalar, o $(1\times1)$ vector, o $(1\times1)$ ¿Matriz?