¿Un elemento de un vector es un escalar o un vector 1x1 o una matriz 1x1?

Question

En econometría, por Hayashi, definieron el vector error de n observaciones en un $ (n \times K)$ función de regresión como:

$\epsilon = \begin{bmatrix}\epsilon_{1} \\\epsilon_{2} \\\vdots \\\epsilon_{n}\end{bmatrix}$ , donde $\epsilon_{i}$ es el término de error de la i-ésima observación,

y el vector x de dimensión K de la i-ésima observación como $x_{i} = \begin{bmatrix}x_{i1} \\x_{i2} \\\vdots \\x_{ik}\end{bmatrix}$

El libro dice que el momento de la cruz de dos variables aleatorias E[xy] es cero significa que estas dos variables aleatorias son ortogonales. No es difícil ver el punto usando [0,1] y [1,0] para comprobar su producto cruzado para la ortogonalidad.

Pero en el libro tiene una fórmula para el supuesto de exogeneidad estricta:

$E[x_{j}\epsilon_{i}] = \begin{bmatrix}x_{j1}\epsilon_{i} \\x_{j2}\epsilon_{i} \\\vdots \\x_{jk}\epsilon_{i}\end{bmatrix} = 0_{(K\times1)}$

Por lo tanto, aquí el $\epsilon_{i}$ es un elemento del $\epsilon$ y el momento cruzado para un $(k\times1)$ vector y un elemento de un vector, que son ortogonales, es un $(k\times1)$ 0 vector. Mi pregunta es que, ¿qué es un momento cruzado de dos variables aleatorias, es el valor esperado del producto interior? ¿Y debo ver el $\epsilon_{i}$ como un escalar, o $(1\times1)$ vector, o $(1\times1)$ ¿Matriz?

Muchas gracias.

Answer 1

Los vectores son (en este contexto) sólo matrices que tienen una fila o una columna.

$\def\e{\epsilon}\e_i$ es un escalar, ya que es una entrada de una matriz, $\e$ .

El momento cruzado de dos variables aleatorias $X,Y$ se define como el valor esperado de su producto El producto que se utiliza depende del contexto.

• Si $X$ y $Y$ son escalares, el producto es la multiplicación habitual.

• Si $X$ es un escalar y $Y$ es una matriz, el producto es una multiplicación escalar.

• Si $X$ es y $Y$ son ambas matrices, entonces el producto es una multiplicación de matrices.

  • Si $X$ es un $1\times n$ vector y $Y$ es un $n\times 1$ vector, entonces el producto es un $1\times 1$ matriz, que puede considerarse como un escalar sin pérdida de generalidad. Si es así, este escalar est su producto interior.

En respuesta a tu segunda pregunta, hay un caso especial en el que el momento cruzado es el valor esperado del producto interior.

Answer 2

Por lo que tengo entendido, el vector de error n X 1 es un vector aleatorio. Un vector aleatorio de dimensión n es una colección de n variables aleatorias que están asociadas al mismo evento. Así que en el vector de error $$\epsilon = \begin{bmatrix}\epsilon_{1} \\\epsilon_{2} \\\vdots \\\epsilon_{n}\end{bmatrix}$$ donde $\epsilon_i$ es el error en el $i^{th}$ observación, ya que el error es aleatorio toda variable es aleatoria. Ahora la expresión del momento cruzado debe escribirse como : $$E[x_{j}\epsilon_{i}] = \begin{bmatrix}x_{j1}\epsilon_{i} \\x_{j2}\epsilon_{i} \\\vdots \\x_{jk}\epsilon_{i}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots \\0\end{bmatrix}$$

Ahora el error $\epsilon_1$ es en realidad el error observado en el vector $x_1=\begin{bmatrix}x_{11} \\x_{12} \\\vdots \\x_{1k}\end{bmatrix}$ que, de nuevo, es un vector, por lo que sólo se comprueba la exogeneidad con respecto a $\epsilon_1$ .

Considere un número real $x$ , ahora esto es un escalar porque es un valor plano. Su significado físico es la magnitud. Si hacemos coincidir dos números de este tipo $x$ y $y$ obtenemos un vector $$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$ Ahora bien, si se unen dos vectores de este tipo, se obtiene una matriz $$\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\y_1 & y_2 \end{bmatrix}$$ La cuestión es desde qué espacio estás viendo el número real. Si estás considerando sólo el espacio escalar entonces $x$ es un escalar, si se ve desde un espacio vectorial $x$ es un vector 1X1 si se ve desde el espacio matricial $x$ es una matriz 1X1. Así que la jerarquía es como Scalar, luego Vector y luego Matriz. Cualquier escalar puede representarse como una matriz o un vector, pero no al revés.

Es similar al hecho de que es $2$ realmente un número complejo. La gente dice que lo es porque en el dominio complejo se puede representar como $2+0i$ un número complejo no puede ser representado como un número real porque tiene partes reales e imaginarias. Espero que esto ayude...