Aclaración sobre la derivación del intervalo de confianza de la varianza

Question

Estoy tratando de analizar la derivación del intervalo de confianza en una muestra con distribución normal. En concreto, tengo algunos problemas para entender por qué utilizamos determinados cuantiles.

En la imagen de arriba, ¿por qué está $a$ igual a $\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2$ y no $\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2$ ?

Pensaba que el cuantil está relacionado con el área a la izquierda de un punto dado (debido a que la cdf se define como $P(X \leq t)$ ), que en este caso es $\frac{\alpha}{2}$ . En mi opinión, $a$ y $b$ debería cambiarse. Estoy aún más confundido ya que tengo ambas formas de elegir el punto, por ejemplo, en mi libro de texto hay:

que es lo mismo que mi razonamiento.

¿Qué me falta?

Answer 1

Un intervalo de confianza del 95% se basa en $Q = (n-1)S^2/\sigma^2 \sim \mathsf{Chisq}(df=n-1).$ Así podemos encontrar números $L$ y $U$ para que $$.95 = P\left(L \le Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \le U\right) = P\left(\frac{1}{U} \le \frac{\sigma^2}{(n-1)S^2} \le \frac{1}{L}\right)\\ P\left(\frac{(n-1)S^2}{U} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)S^2}{L}\right),$$ de modo que un IC del 95% para $\sigma^2$ es de la forma $$ \left(\frac{(n-1)S^2}{U},\:\frac{(n-1)S^2}{L}\right).$$

Desde un punto de vista más sencillo, como menciona @Henry, si se utilizara $L$ para el denominador del límite de confianza de la izquierda y $U$ en el límite derecho, entonces tendrías $$ \frac{(n-1)S^2}{L} > \frac{(n-1)S^2}{U}.$$

Notas: (a) Este tipo de "inversión" de los límites de probabilidad se produce con frecuencia al hacer límites de confianza.

(b) Por ejemplo, en el IC simple para la normalidad $\mu$ de la forma $\bar X \pm 1.96\sigma/\sqrt{n}.$ los límites son realmente $\bar X - U\sigma/\sqrt{n}$ y $\bar X - L\sigma/\sqrt{n},$ donde $U = 1.96$ y $L = -1.96.$ Pero esto rara vez se nota debido a la simetría de la distribución normal.

(c) Al hacer un CI bootstrap no sesgado, es especialmente importante tener en cuenta esta "inversión".