¿Es la bola de la unidad en $L_p$ , $1<p<2$ contenida en una "perturbación compacta" de la bola unitaria en $L_2$ ?

Question

Para cada par de funciones $x,y\in L_2[0,1]$ denotamos por $x\cdot y$ su producto puntual $$ (x\cdot y)(t)=x(t)\cdot y(t),\quad t\in [0,1]. $$ Pertenece a $L_1[0,1]$ debido a la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky: $$ x,y\in L_2[0,1]\quad\Longrightarrow\quad x\cdot y\in L_1[0,1]. $$

Y para cada par de conjuntos $A,B\subseteq L_2[0,1]$ por $A\cdot B$ denotamos el correspondiente "producto elemento-sabio", $$ A\cdot B=\{x\cdot y; \ x\in A, \ y\in B\}, $$ que se encuentra en $L_1[0,1]$ : $$ A,B\subseteq L_2[0,1]\quad\Longrightarrow\quad A\cdot B\subseteq L_1[0,1]. $$ Denotemos por $\overline{\operatorname{absconv}}(A\cdot B)$ el casco cerrado absolutamente convexo de $A\cdot B$ en $L_1[0,1]$ .

Y para cada $p>1$ dejar $B_p$ sea la bola unitaria en $L_p[0,1]$ .

Me pregunto en qué caso $B_p$ está contenida en un conjunto de la forma $\overline{\operatorname{absconv}}(K\cdot B_2)$ donde $K$ es un conjunto compacto en $L_2[0,1]$ : $$ B_p\subseteq \underbrace{\overline{\operatorname{absconv}}(K\cdot B_2)}_{\scriptsize\begin{matrix}\text{closed absolutely convex hull in $L_1[0,1]$}\end{matrix}}. $$ Para $p\ge 2$ esto es trivialmente cierto, ya que en este caso podemos tomar $K=\{1\}$ el conjunto formado por una sola función, la constante identidad ( $1(t)=1$ , $t\in[0,1]$ ): $$ B_p\subseteq B_2\subseteq \overline{\operatorname{absconv}}B_2= \overline{\operatorname{absconv}}(\{1\}\cdot B_2) $$

Pero para $1<p<2$ esto parece no ser cierto:

Si $1<p<2$ entonces no existe un conjunto compacto $K\subseteq L_2[0,1]$ tal que $$ B_p\subseteq \underbrace{\overline{\operatorname{absconv}}(K\cdot B_2)}_{\scriptsize\begin{matrix}\text{closed absolutely convex hull in $L_1[0,1]$}\end{matrix}}. $$

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Tienes razón, la respuesta a la pregunta es no: si $1<p<2$ entonces no hay ningún conjunto compacto $K \subset L_2$ tal que $$B_p \subset \overline{\textrm{absconv}} (K \cdot B_2).$$

Supongamos por contradicción que tal $K$ existe, y define $C=\max_K \|f\|_2$ . Por dualidad (es una equivalencia) tenemos $$ \|g\|_q \leq \sup_{f \in K} \|fg\|_2$$ por cada $g \in L_\infty$ , donde $q = \frac{p}{p-1}$ es el exponente conjugado de $p$ .

La idea es que si $g$ es independiente de $K$ esta desigualdad se convierte en $\|g\|_q \leq C \|g\|_2$ lo que no es cierto porque $q>2$ .

Más detalles : para mayor comodidad, déjame trabajar con $L_p(\{0,1\}^{\mathbf{N}})$ (coordenadas diádicas). Sea $\varepsilon>0$ sea arbitraria. Por compacidad, hay $f_1,\dots,f_k$ de $L_2$ -norma inferior a $C$ tal que $K$ está contenida en el $\varepsilon$ -vecino de $\{f_1,\dots,f_k\}$ por lo que la desigualdad anterior implica $$ \|g\|_q \leq \max_i \|f_ig\|_2+\varepsilon \|g\|_\infty.$$

Por densidad podemos incluso suponer que cada $f_i \colon \{0,1\}^{\mathbf N}\to \mathbf C$ depende de un número finito de coordenadas, digamos que la primera $N$ . Si $g$ no depende de la primera $N$ coordenadas, es entonces independiente de cada $f_i$ , $\|f_i g\|_2 = \|f_i\|_2 \|g\|_2 \leq C \|g\|_2$ y $$ \|g\|_q \leq C \|g\|_2+\varepsilon \|g\|_\infty.$$ Si $g \in L_\infty$ es arbitraria, aplicando esto a la función $(\omega_n)_{n \in \mathbf N} \mapsto g((\omega_{n+N})_{n \in \mathbf N})$ obtenemos que esta desigualdad se cumple para todo $g$ . Haciendo $\varepsilon \to 0$ obtenemos $\|g\|_q \leq C \|g\|_2$ una contradicción.