Medición de la imagen de un conjunto mediante la integral jacobiana

Question

Supongamos que $T:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$ es una cartografía diferenciable y $E$ sea un conjunto medible. Demuestre que $m(T(E))=\int_E |det(DT(x))|dx$ .

Estoy pensando que podría utilizar el siguiente Teorema, pero no sé cómo

Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y $\phi : U \mathbb{R}^n$ sea una cartografía bi-Lipschitz. Sea $f : (U) R$ sea medible. Entonces $\int_U (f\circ \varphi)|\det D\varphi| = \int_{\varphi(U)}f$ .

Answer 1

La medida de un conjunto es la integral de la función constante $1$ sobre ese conjunto (con respecto a la medida). Utilizando $$ \int_U (f\circ \varphi)|\det D\varphi| = \int_{\varphi(U)}f$$ con $f\equiv 1$ da el resultado.