Dejemos que $S = \mathbb{R}^2 \setminus \{ (x,y): x+y \in \mathbb{Q} \}.$ Demuestre que no hay conjuntos medibles de Lebesgue $A, B \subset \mathbb{R}$ de medida de Lebesgue positiva para la que $A \times B \subset S$ .
No sé realmente lo que me dan y con qué trabajar. Es obvio que $A, B$ no puede tener ningún número racional. Pero no estoy seguro de cómo empezar. ¿Podría alguien ayudarme con esto?
El principal resultado aquí es que si $A,B$ tienen medida positiva entonces $A+B$ contiene un intervalo no trivial (véase https://math.stackexchange.com/a/1276487/27978 para una prueba utilizando la convolución).
Considere el mapa $T((x,y)) = x+y$ y observe que $(x,y) \in S$ si $T((x,y)) \notin \mathbb{Q}$ .
El resultado anterior muestra que $T(A \times B) = A+B$ contiene un intervalo no trivial, en particular, hay algún $(a,b) \in A \times B$ tal que $T((a,b)) \in \mathbb{Q}$ y así $(a,b) \notin S$ .
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