Lo que sucede a la de Newton, los sistemas de como la masa se desvanece?

Question

Esta cuestión está estrechamente relacionada con otra que hice recientemente, y puede ser pensado como un calentamiento para que uno.

Considere la posibilidad de $\mathbb R^n$ con su habitual métrica, y recoger un formulario a- $b$ y una función de $c$. Deje $m$ ser una constante positiva, y considerar los de segundo orden de la ecuación diferencial de una función de $q(t)$ $$ m\ddot q = db \cdot \dot q + dc $$ donde he utilizado la métrica para identificar los vectores y covectors, $dc$ es el diferencial de $c$, e $db$ es el exterior derivado de la $b$ (es contratado con $\dot q$, para producir un covector). En las coordenadas, y mediante el convenio de sumación de Einstein: $$ m\ddot q^i = \left(\partial\_i b\_j - \partial\_j b\_i\right)\dot q^j + \partial\_i c $$

Estoy interesado en el límite cuando $m\to 0$. Por ejemplo, cuando se $m=0$ $b=0$ (o de todos modos al $b$ es cerrado), entonces la ecuación diferencial de las fuerzas de la ruta de $q(t)$ a permanecer dentro del conjunto de puntos críticos de $c$ (este conjunto es, genéricamente, discretos, de modo que las únicas soluciones son constantes). En otro (más genérico) extremas, $db$ podría ser degenerada, y por lo tanto una forma simpléctica en $\mathbb R^n$. Entonces la ecuación de $0 = db \cdot \dot q + dc$ es una degenerada ecuación diferencial de primer orden, exactamente equivalente a las ecuaciones de Hamilton para la simpléctica colector $(\mathbb R^n,db)$ con Hamiltonianos $-c$. Hay cierta gradación al $db$ es distinto de cero, pero tiene trivial kernel (como por ejemplo que debe suceder si $n$ es impar).

Así que, básicamente, conseguir lo que sucede cuando $m=0$. Pero podemos comprender el límite de $m\to 0$? Por ejemplo, si $m\neq 0$, entonces cualquier valor inicial $(\dot q(0),q(0))$ determina una solución; para la renta fija valores iniciales, ¿cómo esta solución varían $m\to 0$? Alternativamente, se puede tratar de resolver el problema de valor de frontera, en el que se prescriben $q(0)$$q(1)$. Entonces, ¿qué sucede con las soluciones como $m$ encoge? Desde cuándo $m=0$ no podemos encontrar soluciones arbitrarias de la velocidad inicial, es poco probable que cualquier cosa que es particularmente comportan bien en el límite, pero no imposible.

Muy específicamente, me gustaría saber acerca de la asymptotics de las soluciones a la frontera y de valores iniciales problemas — ¿qué soluciones parecerse al $m$ es una forma de variable? Pero más en general estoy contento con algunas declaraciones acerca de la regularidad en el $m\to 0$ límite.

Answer 1

Esto no es realmente una respuesta a su pregunta, pero un punto filosófico. La física de partículas sin masa no es simplemente el límite de $m\to 0$ masiva de partículas. Este es tal vez más fácil de ver en el contexto de la teoría de campo relativista, donde la libertad de ecuaciones de campo puede ser interpretado en términos de la teoría de la representación del grupo de Poincaré. Vamos a considerar una masiva "vector" de la partícula en 4 dimensiones espacio-tiempo de Minkowski. Esto se traduce en la irreductible unitaria representación del grupo de Poincaré, que es inducida (a la Wigner, Mackey,...) a partir de la representación tridimensional de la estabilidad de los subgrupos de un momento con un valor distinto de cero de la masa, que es isomorfo a SO(3) para todos los valores distintos de cero de la masa. El hecho de que la inducción de la representación en tres dimensiones, explica el físico declaración masiva de los vectores tienen tres grados de libertad.

Masa vectores, por otro lado, sólo tienen dos grados de libertad: los dos transversal polarisations de la luz. La razón es que son inducidas a partir de una real representación en dos dimensiones de la máxima compacto subgrupo de la estabilidad de los subgrupos de un impulso distintos de cero con masa cero, que es isomorfo a SO(2).

La masiva y sin masa casos son muy diferentes y no se puede ver como un límite de la otra, al menos desde el punto de vista de la teoría de la representación. Físicamente, lo que está pasando es que en el límite de $m\to 0$, uno de los físicos polarisations del vector se convierte en 'calibre' y, por tanto, no físico.

En la formulación de lagrange se puede ver muy claramente, ya que la masa entra en la multiplicación de la Minkowski norma del vector campo $\tfrac12 m \int |A|^2$ y puede configurar fácilmente a cero, pero luego ves que el lagrangiano se hace degenerar, señal de que usted tiene un limitado sistema,...

Answer 2

Estos son los llamados singularmente perturbados problemas, y en general muy grandes gradientes llamado capas límite se desarrollará en la solución. Por ejemplo, en el valor de límite de problema que usted menciona, como la masa va a cero, la condición de contorno en t=1 se convierte en más y más "invisible" para la mayor parte de la solución, de modo que se asemejan mucho a la solución del problema de valor inicial con masa=0, hasta llegar muy cerca de t=1, de donde se precipita hacia q(1)=0 para satisfacer la condición de contorno. Para el problema con valor inicial muy pequeña de la masa, similar capa se forma cerca de t=0.

Answer 3

Esta no es una respuesta real, pero no es una rama de las matemáticas llamada "semiclásica de análisis", que podrían estar relacionados. Por ejemplo, considere un degenerado versión del problema anterior: $$ (-h^2 \partial_x^2+V(x))u=0. $$ Aquí $h^2=m$$V=dc$; suponemos que la $n=1$. A continuación, el límite como $h\to 0$ es llamado "semiclásica límite". Lo que debe suceder (si te recete algunas condiciones de contorno) es que las posibles soluciones $u$ debe conseguir "microlocalized" cerca de la puesta a cero $\{p=0\}$ de la semiclásica símbolo $$ p(x,\xi)=\xi^2+V(x). $$ Aquí una función $u$ es "microlocalized" cerca de un subconjunto $K$ de la cotangente del paquete de si una determinada norma $\|Au\|$ es pequeña para cualquier pseudodifferential operador $A$ con el símbolo $a$ admite fuera de $K$.

Una explicación física de lo anterior sería que nuestra estática Schr\"odinger ecuación que rige el comportamiento de una sola partícula cuántica bajo el potencial de $V$ cerca del cero nivel de energía; para valores pequeños de Planck constante de $h$, este debe corresponder al movimiento de un clásico de la partícula en este fija el nivel de energía.

Hay varias fuentes para leer acerca de semiclásica de análisis, incluyendo notas de la conferencia por Evans-Zworski y un libro de Dimassi y Sjostrand.