Encontrar el núcleo de una transformación lineal dada

Question

El problema es el siguiente:

Encuentre $\ker(T)$ donde $T \colon P_2 \to P_2$ es la transformación lineal dada por $T(a_0 +a_1x+a_2x^2) =a_0+a_1(x+3)+a_2(x+3)^2$ .

Y esta es mi opinión:

Creo que el primer paso para encontrar el núcleo de algo es encontrar una matriz estándar. Sé que $a+bx+cx^2 = [a,b,c]$ y $T([a_0,a_1,a_2]) = [a_0+a_1,2a_1+3a_2]$ pero no tengo ni idea de cómo empezar esta pregunta.

Answer 1

Pista: no necesitamos una matriz explícita. Tenga en cuenta que $T(1)$ , $T(x)$ y $T(x^2)$ son linealmente independientes.

Answer 2

Núcleo de T: $$(a_0+a_1x+a_2*x^2) \in Ker(T) \iff a_0+a_1(x+3)+a_2(x+3)^2=0$$ El polinomio nulo tiene todos los coeficientes iguales a 0: $$a_0=0,a_1=0,a_2=0 \to d(T)=0$$ Rango de T: $$a_0+a_1(x+3)+a_2(x+3)^2=a_0+xa_1+3a_1+x^2a_2+6xa_2+9a_2$$ $$a_0(1)+a_1(x+3)+a_2(x^2+6x+9)$$ $r(T)=3$ gama $= (1,x+3,x^2+6x+9)$ $$r(T)+d(T)=dimP_2=3+0=3$$ El operador lineal T es inyectivo, sobreyectivo y biyectivo.