Subesquemas cerrados y retirada de la gavilla de estructura a través del mapa de inclusión

Question

Sólo quisiera una aclaración relacionada con los subesquemas cerrados.

Si $(X,{\cal O}_X)$ es un espacio localmente anillado y $A\subset X$ es cualquier subconjunto con la topología del subespacio entonces $i^{-1}{\cal O}_X$ será una gavilla de anillos en $A$ donde $i:A\rightarrow X$ es el mapa de inclusión. (Recordemos que la imagen inversa $i^{-1}{\cal O}_X$ es la sheafificación del presheaf $U \mapsto \lim_{V\supset i(U)} {\cal O}_X(V)$ para $U\subseteq A$ abierto, donde el límite inductivo es sobre todos los subconjuntos abiertos $V$ de $X$ que contiene $U$ .)

¿Es la razón por la que no hacemos esto (y en su lugar empezamos a hablar de subesquemas cerrados, etc. etc.) sólo que $(A,i^{-1}{\cal O}_X)$ no tiene por qué ser un esquema incluso cuando $X$ ¿es?

Dicho de otro modo: dado cualquier subconjunto cerrado de un esquema habrá muchas formas de convertirlo en un subesquema cerrado. Cuál es la relación entre los espacios localmente anillados sobre un subconjunto cerrado que lo convierten en un subesquema cerrado y el espacio localmente anillado que he descrito anteriormente y que obtenemos al retirar la gavilla de estructura mediante el mapa de inclusión.

Answer 1

Puede ser útil considerar el caso extremo en el que $x$ es un punto cerrado de $X$ , y $i$ es la inclusión $\{x\} \hookrightarrow X$ . El retroceso $i^{-1}\mathcal O_X$ es entonces el tallo de $\mathcal O_X$ en $x$ es decir, el anillo local $A_{\mathfrak m}$ , si Spec $A$ es un n.h. afín de $x$ en $X$ y $\mathfrak m$ es el ideal máximo en $A$ correspondiente al punto cerrado $x$ .

Ahora un solo punto, con un anillo local $A_{\mathfrak m}$ como gavilla de estructura, no es un esquema (a menos que $A_{\mathfrak m}$ resulta ser de dimensión cero).

Además, el mapa de restricción de las secciones de $\mathcal O_X$ en $X$ a sección de $i^{-1}\mathcal O_X$ en $x$ es no evaluación de funciones en $x$ (que corresponde a la reducción de elementos de $A$ modulo $\mathfrak m$ ), sino que es más bien sólo el paso a los gérmenes de las funciones en $x$ .

La idea en la teoría de esquemas es que las secciones de $\mathcal O_X$ deben ser funciones, y la restricción a un subesquema cerrado debe ser una restricción de funciones. En particular, la restricción a un punto cerrado debe ser evaluación de la función (si se quiere, el término constante de la serie de Taylor de la función), no el paso al germen (que es como recordar toda la serie de Taylor).

Si se tiene en cuenta esta intuición, y se piensa en el caso de un punto cerrado, se pronto se convencerá de que la noción general de subesquema cerrado es la correcta: Si restringimos las funciones al locus recortado por una gavilla ideal $\mathcal I$ o (en el entorno afín) por un ideal $I$ en $A$ , entonces dos secciones darán el misma función en este lugar si coinciden mod $\mathcal I$ (o mod $I$ en el afín), por lo que es natural definir la gavilla de estructura como $\mathcal O_X/\mathcal I$ (o tomar sus secciones globales para ser $A/I$ en el afín settin), en lugar de $i^{-1}\mathcal O_X$ .

Answer 2

Si $J \subseteq \mathcal{O}_X$ es un ideal, el conjunto cero correspondiente es $V(J) = supp \mathcal{O}_X / J$ . Es un subconjunto cerrado de $X$ , dejemos que $i$ sea la inclusión. Entonces el espacio cerrado sub-anillado asociado de $X$ se define como $(V(J),i^{-1} (\mathcal{O}_X/J))$ . Tiene la propiedad universal deseada, mapea a $V(J)$ son sólo mapas para $X$ tal que el mapa de gavillas desaparece en $J$ . Si $X$ es un esquema y $J$ es casi coherente, resulta que $V(J)$ es un esquema.

Si tomamos $i^{-1} \mathcal{O}_X$ en lugar de $i^{-1}(\mathcal{O}_X/J)=i^{-1} \mathcal{O}_X / i^{-1} J$ la propiedad universal ya no se cumple y si $X$ es un esquema y $J$ cuasi coherente, en general, esto ya no es un esquema. La razón es simplemente que aquí los puntos y las funciones no están realmente conectados entre sí.

Si te gusta pensar en subconjuntos cerrados, observa que todo subconjunto cerrado $A$ surge como $V(J)$ . Simplemente tome $J(U) = \{f \in \mathcal{O}_X(U) : f_x \in \mathfrak{m}_x ~~ \forall x \in U \cap A\}$ .

Por ejemplo, si $X$ es un esquema y $x$ es un punto cerrado de $X$ , toma $A = \{x\}$ . Entonces $(A,i^{-1} \mathcal{O}_X)$ es el espacio localmente anillado en $A$ con secciones $\mathcal{O}_{X,x}$ que sólo es un esquema si $\mathcal{O}_{X,x}$ tiene sólo un ideal primo.