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Cuántos $4$ -Los números de cifras pueden formarse con dígitos $0,1,...6$ tal que contenga los dígitos $3$ y $5$ ?

Cuántos $4$ -Los números de cifras pueden formarse con dígitos $0,1,...6$ tal que contenga los dígitos $3$ y $5$ ?

Mi intento:

Todos los posibles $4$ -Números de un dígito $= 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 6$

$4$ -dígitos números que no contienen $3, 5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4$

Respuesta= $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 6-5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 =1558$

¿Está bien? Si no es así, por favor explique mi error.

Gracias.

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m0j0 Puntos 181

También hay que restar el número de números que contienen uno o más $5$ s pero no $3$ así como el número de números que contienen uno o más $3$ s pero no $5$ .

O también puedes contar directamente:

  1. Una $3$ , uno $5$ , dos algo más
  2. Una $3$ , dos $5$ s, una cosa más
  3. Dos $3$ s, una $5$ , uno algo más
  4. Tres $3$ s, una $5$
  5. Dos $3$ s, dos $5$ s
  6. Una $3$ , tres $5$ s

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N. F. Taussig Puntos 8718

Tu respuesta es incorrecta, porque la negación de la afirmación de que los enteros positivos incluyen los dígitos $3$ y $5$ es que no contiene el dígito $3$ o no contiene la cifra $5$ . Lo que ha restado es el número de $4$ -enteros positivos de un dígito que no contienen ni el dígito $3$ ni el dígito $5$ . Sin embargo, cifras como $3460$ y $2145$ también son inadmisibles.

Cuántos $4$ -Los enteros positivos de un dígito se pueden formar con los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con repetición contienen los dígitos $3$ y $5$ ?

Si no hubiera restricciones, la plaza de mil podría llenarse de seis maneras (ya que $0$ se excluye) y cada uno de los tres lugares restantes podría llenarse de siete maneras (suponiendo que se permite la repetición de dígitos). Por lo tanto, hay un total de $$6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$$ números enteros positivos de cuatro cifras que pueden formarse con los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con la repetición.

De estos, debemos restar los que no contienen los dígitos $3$ y $5$ . Números que no contienen los dígitos $3$ y $5$ no contienen el dígito $3$ o no contienen el dígito $5$ .

¿Cuántos enteros positivos de cuatro dígitos se forman a partir de los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con repetición no contienen el dígito $3$ ?

Hay cinco maneras de llenar el lugar de los miles (ya que ni $0$ ni $3$ está permitido) y seis formas de ocupar cada una de las plazas restantes (ya que $3$ no está permitido). Por lo tanto, hay $$5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$$ tales números.

Por simetría, también hay $$5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$$ números enteros positivos de cuatro dígitos formados por los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con repetición que no contienen el dígito $5$ .

Sin embargo, si restamos los números que no contienen la cifra $3$ y los números que no contienen la cifra $5$ del total, habremos restado aquellos números que no contengan ni el dígito $3$ ni el dígito $5$ dos veces. Sólo queremos restarlas una vez, así que debemos sumarlas al total.

¿Cuántos enteros positivos de cuatro dígitos se forman a partir de los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con repetición no contienen ni el dígito $3$ ni el dígito $5$ ?

Hay cuatro maneras de llenar el lugar de los miles (ya que ni $0$ ni $3$ ni $5$ está permitido) y cinco formas de ocupar cada una de las tres plazas restantes (ya que ninguna $3$ ni $5$ está permitido). Por lo tanto, hay $$4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$$ tales números.

Por el Principio de inclusión-exclusión el número de enteros positivos de cuatro cifras formados por los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con repetición que contienen los dígitos $3$ y $5$ es $$6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot + 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$$

Más formalmente, sigamos la sugerencia de Nicolas FRANCOIS hecha en los comentarios. Que el conjunto universal, $U$ sea el conjunto de enteros positivos de cuatro cifras que pueden formarse a partir de los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con la repetición; que $A$ sea el caso de que dicho número entero positivo de cuatro cifras incluya el dígito $3$ ; dejar que $B$ sea el caso de que dicho número entero positivo de cuatro cifras incluya el dígito $5$ . Lo que queremos calcular es $$|A \cap B| = |U| - |(A \cap B)^C| = |U| - |A^C \cup B^C| = |U| - (|A^C| + |B^C| - |A^C \cap B^C|)$$ Lo que mostramos arriba es que \begin{align*} |U| & = 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7\\ |A^C| & = 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6\\ |B^C| & = 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6\\ |A^C \cap B^C| & = 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \end{align*} que da \begin{align*} |A \cap B| & = |U| - |(A \cap B)^C|\\ & = |U| - |A^C \cup B^C|\\ & = |U| - (|A^C| + |B^C| - |A^C \cap B^C|)\\ & = |U| - |A^C| - |B^C| + |A^C \cap B^C|\\ & = 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 - 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 - 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 + 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\\ & = 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6\cdot 6 + 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \end{align*}

Cuántos $4$ -Los enteros positivos de un dígito se pueden formar con los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ sin repetición contienen los dígitos $3$ y $5$ ?

En este problema, o bien $3$ o $5$ es el dígito inicial o ninguno.

$3$ o $5$ es el dígito inicial:

  1. Elige cuál de ellos es el dígito principal.
  2. Elige el lugar que ocupa cualquier número del conjunto $\{3, 5\}$ que no se ha utilizado como dígito inicial.
  3. Ahora que $3$ y $5$ se han colocado, elige cuál de los números restantes ocupa el primer lugar libre.
  4. Elige cuál de los números restantes llena el último lugar abierto.

Hay $$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4$$ esos números.

Tampoco $3$ ni $5$ es el dígito inicial:

  1. Elige cuál de los otros dígitos no nulos ocupa el lugar de los miles.
  2. Elija cuál de los lugares restantes está ocupado por el dígito $3$ .
  3. Elija cuál de los lugares restantes está ocupado por el dígito $5$ .
  4. Elige cuál de los dígitos restantes llena el lugar restante.

Hay $$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4$$ esos números.

Como estos casos son mutuamente excluyentes y exhaustivos, la respuesta se encuentra sumando los resultados de los dos casos.

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DanielV Puntos 11606

Como sólo te interesan 4 estados: no contiene ninguno, contiene 3 no 5, contiene 5 no 3, contiene ambos; puedes utilizar una matriz de transición:

$$\begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}^3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

De esta manera, si quisieras cambiarlo a "cuántos números de 55 dígitos..." todo lo que tienes que hacer es cambiar el $3$ en el exponente a un $54$ .

Es interesante que si se diagonaliza la matriz se obtiene la misma expresión que la respuesta de N.G.Taussig: $6 \times 7^3 - 2 \times 5 \times 6^3 + 4 \times 5^3$

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