Tu respuesta es incorrecta, porque la negación de la afirmación de que los enteros positivos incluyen los dígitos $3$ y $5$ es que no contiene el dígito $3$ o no contiene la cifra $5$ . Lo que ha restado es el número de $4$ -enteros positivos de un dígito que no contienen ni el dígito $3$ ni el dígito $5$ . Sin embargo, cifras como $3460$ y $2145$ también son inadmisibles.
Cuántos $4$ -Los enteros positivos de un dígito se pueden formar con los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con repetición contienen los dígitos $3$ y $5$ ?
Si no hubiera restricciones, la plaza de mil podría llenarse de seis maneras (ya que $0$ se excluye) y cada uno de los tres lugares restantes podría llenarse de siete maneras (suponiendo que se permite la repetición de dígitos). Por lo tanto, hay un total de $$6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$$ números enteros positivos de cuatro cifras que pueden formarse con los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con la repetición.
De estos, debemos restar los que no contienen los dígitos $3$ y $5$ . Números que no contienen los dígitos $3$ y $5$ no contienen el dígito $3$ o no contienen el dígito $5$ .
¿Cuántos enteros positivos de cuatro dígitos se forman a partir de los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con repetición no contienen el dígito $3$ ?
Hay cinco maneras de llenar el lugar de los miles (ya que ni $0$ ni $3$ está permitido) y seis formas de ocupar cada una de las plazas restantes (ya que $3$ no está permitido). Por lo tanto, hay $$5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$$ tales números.
Por simetría, también hay $$5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$$ números enteros positivos de cuatro dígitos formados por los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con repetición que no contienen el dígito $5$ .
Sin embargo, si restamos los números que no contienen la cifra $3$ y los números que no contienen la cifra $5$ del total, habremos restado aquellos números que no contengan ni el dígito $3$ ni el dígito $5$ dos veces. Sólo queremos restarlas una vez, así que debemos sumarlas al total.
¿Cuántos enteros positivos de cuatro dígitos se forman a partir de los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con repetición no contienen ni el dígito $3$ ni el dígito $5$ ?
Hay cuatro maneras de llenar el lugar de los miles (ya que ni $0$ ni $3$ ni $5$ está permitido) y cinco formas de ocupar cada una de las tres plazas restantes (ya que ninguna $3$ ni $5$ está permitido). Por lo tanto, hay $$4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$$ tales números.
Por el Principio de inclusión-exclusión el número de enteros positivos de cuatro cifras formados por los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con repetición que contienen los dígitos $3$ y $5$ es $$6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot + 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$$
Más formalmente, sigamos la sugerencia de Nicolas FRANCOIS hecha en los comentarios. Que el conjunto universal, $U$ sea el conjunto de enteros positivos de cuatro cifras que pueden formarse a partir de los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ con la repetición; que $A$ sea el caso de que dicho número entero positivo de cuatro cifras incluya el dígito $3$ ; dejar que $B$ sea el caso de que dicho número entero positivo de cuatro cifras incluya el dígito $5$ . Lo que queremos calcular es $$|A \cap B| = |U| - |(A \cap B)^C| = |U| - |A^C \cup B^C| = |U| - (|A^C| + |B^C| - |A^C \cap B^C|)$$ Lo que mostramos arriba es que \begin{align*} |U| & = 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7\\ |A^C| & = 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6\\ |B^C| & = 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6\\ |A^C \cap B^C| & = 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \end{align*} que da \begin{align*} |A \cap B| & = |U| - |(A \cap B)^C|\\ & = |U| - |A^C \cup B^C|\\ & = |U| - (|A^C| + |B^C| - |A^C \cap B^C|)\\ & = |U| - |A^C| - |B^C| + |A^C \cap B^C|\\ & = 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 - 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 - 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 + 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\\ & = 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6\cdot 6 + 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \end{align*}
Cuántos $4$ -Los enteros positivos de un dígito se pueden formar con los dígitos $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ sin repetición contienen los dígitos $3$ y $5$ ?
En este problema, o bien $3$ o $5$ es el dígito inicial o ninguno.
$3$ o $5$ es el dígito inicial:
- Elige cuál de ellos es el dígito principal.
- Elige el lugar que ocupa cualquier número del conjunto $\{3, 5\}$ que no se ha utilizado como dígito inicial.
- Ahora que $3$ y $5$ se han colocado, elige cuál de los números restantes ocupa el primer lugar libre.
- Elige cuál de los números restantes llena el último lugar abierto.
Hay $$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4$$ esos números.
Tampoco $3$ ni $5$ es el dígito inicial:
- Elige cuál de los otros dígitos no nulos ocupa el lugar de los miles.
- Elija cuál de los lugares restantes está ocupado por el dígito $3$ .
- Elija cuál de los lugares restantes está ocupado por el dígito $5$ .
- Elige cuál de los dígitos restantes llena el lugar restante.
Hay $$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4$$ esos números.
Como estos casos son mutuamente excluyentes y exhaustivos, la respuesta se encuentra sumando los resultados de los dos casos.