Demostrar que no existe un grafo plano regular (todos los vértices de grado 3) de forma que todas las regiones, incluida la región no delimitada, sean hexagonales.
Estoy seguro de que esto tiene que ver con el hecho de que para los grafos planares la suma de grados de las regiones es el doble del número de aristas. Busco una pista que me empuje en la dirección correcta.
La característica de Euler de un gráfico plano es $2$ . Sin embargo, si cada cara es hexagonal y cada vértice tiene grado $3$ , $V+F-E$ no puede ser $2$ porque es $ 2F+F-3F = 0$ .
Explicación: hay $6$ vértices en cada cara y cada vértice pertenece a $3$ caras, por lo tanto $V=2F$ . Cada cara tiene seis aristas y cada arista pertenece a dos caras, por lo tanto $E=3F$ .
Sin embargo, tenemos este tipo de grafo incrustado en un toroide (por cortesía de R. M. ):
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