Por qué $\langle y,x\rangle+\langle x,y\rangle=2\mathrm{Re}\langle x,y\rangle$ ? ¿Y las reglas de uso del valor absoluto, la producción interna y la norma?

Question

Sea V un espacio de producto interno sobre F, x,yV. En la demostración de la desigualdad del triángulo, mi libro de texto utiliza $$\|x+y\|^2 = \langle x,x \rangle + \langle y,x \rangle + \langle x,y \rangle + \langle y,y \rangle = \|x\|^2 + 2\mathrm{Re}\langle x,y \rangle + \|y\|^2$$ $$\leq \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2$$ directamente. Aquí $\langle \cdot, \cdot \rangle$ puede no ser el producto interno estándar.

Intenté usar $x=a+bi$ y $y=a'+b'i$ para verificar si $\langle y,x \rangle + \langle x,y \rangle = 2\mathrm{Re} \langle x,y \rangle$ y resultó ser $2\langle a,a'\rangle+2\langle b,b'\rangle = 2\mathrm{Re}\langle x, y \rangle$ .

Entonces me pregunto cuál es la parte real de $\langle x, y \rangle$ ¿Exactamente?

Para el siguiente paso, ¿cómo es que $\mathrm{Re}\langle x,y \rangle \leq |\langle x, y \rangle|$ ? ¿Qué es $|\langle x, y \rangle|$ ¿entonces?

¡¡Estoy totalmente confundido con esas anotaciones y cómo funcionan!!

Answer 1

$$\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle=\langle x,y\rangle+\overline{\langle x,y\rangle}=2\text{Re}(\langle x,y\rangle)$$

Pero para cualquier número complejo $z=a+ib\in\Bbb C\;,\;\;a,b\in\Bbb R\;$ Tenemos eso:

$$\text{Re} (z)=a\le\sqrt{a^2+b^2}=|z|$$

Answer 2

Si $V$ es un espacio vectorial sobre $F=\mathbb C$ con el producto escalar $\langle\cdot,\cdot\rangle$ por definición $$\langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle}, $$ para todos $x,y\in V$ .

Entonces $$\langle y,x\rangle+\langle x,y\rangle=\overline{\langle x,y\rangle} +\langle x,y\rangle= 2\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle).$$

La última igualdad se deduce de $$z+\bar{z}=2\operatorname{Re}(z), $$ para todos $z\in\mathbb C$ .