Dude con el polinomio de taylor

Question

Buenas noches, estoy trabajando con un problema de polinomio taylor, pero tengo un problema con el residuo.

Obtener una aproximación cuadrática $f\left(x,y\right)=\sin\left(x\right)\sin\left(y\right)$ cerca del origen. ¿Qué precisión tiene la aproximación si $\mid x\mid\leq0.1$ y $\mid y\mid\leq0.1$ ?

Mi trabajo en el problema:

$f\left(x,y\right)=\sin\left(x\right)\sin\left(y\right)$

$f\left(x,y\right)\thickapprox f\left(0,0\right)+xf_{x}+yf_{y}+\frac{1}{2}\left(x^{2}f_{xx}+2xyf_{xy}+y^{2}f_{yy}\right)+R$

$f(x,y)\thickapprox xy+R$

pero no puedo resolver $R$ $<- Residue$

Answer 1

Una aproximación cuadrática suele ser peor cuanto más se aleja, por lo que el $R$ plazo no hará más que aumentar. Esto se debe a que $R = f(x,y) - \hat{f}(x,y)$ , donde $\hat{f}$ es la aproximación cuadrática (no es una notación estándar). Por lo tanto, si $|x-x_0|,|y-y_0| \leq \epsilon$ entonces $|R| \leq |f(\epsilon + x_0,\epsilon + y_0)-\hat{f}(\epsilon + x_0,\epsilon + y_0)|$

En su caso sería que $|R| \leq \approx .00003$