Es $(\mathbb{Z},d)$ ¿compacto?

Question

Consideremos la siguiente métrica sobre $\mathbb{Z}$ . Fijamos un número primo $p$ . Si $x \neq y$ entonces $d(x, y)= \frac{1}{p^n}$ , donde $n$ es el mayor número entero tal que $p^n$ divide $y-x$ y $0$ cuando $x = y$ . Es $(\mathbb{Z}, d)$ ¿compacto?

Enfoque: No puedo probarlo como compacto pero aquí $0 \leq d(x,y) \leq 1$ y hay muchos números cuya distancia es $1$ [ $d(x,y)=1$ ]. Esto me recuerda a la métrica discreta Así que me siento como $(\mathbb{Z},d)$ puede no ser compacto. Y podemos considerar la cubierta abierta $B(x,\frac{1}{2})$ donde $x\in \mathbb{Z}$ es decir $\mathbb{Z} \subset \bigcup_{x\in \mathbb{Z}} B(x,\frac{1}{2})$ y si fuera compacto entonces podemos encontrar una subcubierta finita digamos $\mathbb{Z} \subset B(a_1,\frac{1}{2}) \cup... \cup B(a_n, \frac{1}{2})$ pero no puedo encontrar un elemento que esté en $\mathbb{Z}$ pero se encuentra fuera de la unión. Por favor, ayuda, no puedo seguir adelante

Answer 1

Elija $r \ge 2$ con $gcd(r,p)=1$ .

Dejemos que $U_n := \{x \in \mathbb Z: \lvert rx -1 \rvert > p^{-n}\}$ .

Compruebe que todos los $U_n$ son abiertos (por ejemplo, el principio de máximo ultramétrico). Evidentemente, $U_n \subseteq U_{n+1}$ para todos $n$ .

La unión de todos los $U_n$ est $\mathbb Z$ : Para cada $x \in \mathbb Z$ tenemos $\lvert rx - 1 \rvert > 0$ y por lo tanto $> p^{-m}$ para algunos $m \in \mathbb N$ .

Pero cualquier subcubierta finita es sólo un $U_k$ que no cubre $\mathbb Z$ : Hay infinitos $x \in \mathbb Z$ tal que $rx \equiv 1$ modulo $p^k$ es decir $\lvert rx -1 \rvert \le p^{-k}$ .

(Lo que estoy haciendo en secreto aquí es sólo decir que $1/r \in \mathbb Z_p$ ( $p$ -números ágicos) se encuentra en el cierre de $\mathbb Z$ pero no en $\mathbb Z$ sí mismo).

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Tenga en cuenta que, al contrario de lo que sugieren algunos comentarios y respuestas borradas, no podrá encontrar infinitos enteros cuyas distancias mutuas sean $1$ o, de hecho, cualquier lista infinita de enteros cuyas distancias mutuas tienen un infimo $> 0$ . Como señala @markvs en los comentarios, efectivamente cada secuencia en $\mathbb Z$ con respecto a la $p$ -tiene una subsecuencia que es Cauchy, y esto se deduce del hecho de que su cierre / terminación en esa métrica, el conjunto de $p$ -enteros radicales $\mathbb Z_p$ En efecto est compacto. [De hecho, se puede demostrar que el número máximo de bolas abiertas mutuamente disjuntas cuyos radios son $\ge p^{-k}$ es $p^{k+1}$ y como en el $p$ -métrico tales bolas abiertas son disjuntas o una está contenida en la otra, es imposible encontrar coberturas "verdaderamente infinitas" con bolas abiertas cuyos radios estén acotados lejos de $0$ .] Todo contraejemplo a la compacidad de $\mathbb Z$ con el $p$ -construirá de un modo u otro una secuencia de Cauchy cuyo punto límite se encuentra fuera de $\mathbb Z$ .

Answer 2

Empezaré con las propiedades generales de los enteros con $p$ -y proporcionará un ejemplo concreto de una secuencia de Cauchy que no es convergente (lo cual es suficiente para demostrar que $\mathbb{Z}$ no es compacto) más tarde.

Lema 1. Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia de enteros. Entonces la serie $\sum_{i=0}^\infty a_ip^i$ (o más precisamente la secuencia de sumas parciales) es una secuencia de Cauchy en la $p$ -Métrico.

Prueba. Denota por $S_n=\sum_{i=0}^n a_ip^i$ la secuencia de sumas parciales y observe que para cualquier $n$ y cualquier $k,t\geq n$ tenemos que $p^n$ divide $S_k-S_t$ . Así, $d(S_k,S_t)\leq p^{-n}$ se acerca arbitrariamente a $0$ . $\Box$

Lema 2. Supongamos que $\sum_{i=0}^\infty a_ip^i$ tal que $a_i\in\{0,1,\ldots,p-1\}$ converge a $0$ en el $p$ -radical. Entonces $a_i=0$ para todos $i$ .

Prueba. Por supuesto, para cualquier $m$ hay $k$ tal que $p^m$ divide $\sum_{i=0}^n a_ip^i$ para todos $n\geq k$ . Tomando un tamaño suficientemente grande $n$ concluimos que $p^m$ divide $\sum_{i=0}^{m-1} a_ip^i$ . Pero como $0\leq a_i \leq p-1$ entonces

$$\sum_{i=0}^{m-1} a_ip^i\leq \sum_{i=0}^{m-1} (p-1)\cdot p^i=$$ $$=(p-1)\cdot \sum_{i=0}^{m-1} p^i=(p-1)\cdot\frac{p^m-1}{p-1}=$$ $$=p^m-1<p^m$$

En general $0\leq \sum_{i=0}^{m-1} a_ip^i <p^m$ y así $p^m$ no puede dividirlo a menos que todos $a_i=0$ . $\Box$

Corolario 1. Supongamos que $\sum_{i=0}^\infty a_ip^i=\sum_{i=0}^\infty b_ip^i$ son ambos convergentes al mismo límite en el $p$ -y ambos tienen coeficientes en $\{0,1,\ldots,p-1\}$ . Entonces $a_i=b_i$ para todos $i$ .

Prueba. Basta con aplicar el Lemma 2 a la diferencia $\sum_{i=0}^\infty (a_i-b_i)p^i$ . $\Box$

Corolario 2. $\mathbb{Z}$ no es completa con respecto a $p$ -su métrica. En particular, no es compacta.

Prueba. Supongamos que $\mathbb{Z}$ está completo. Consideremos la siguiente función:

$$F:(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$$ $$F\big((a_n)\big):=\sum_{i=0}^\infty a_ip^i$$

Según el lema 1, cada $F\big((a_n)\big)$ es Cauchy y por tanto nuestro $F$ está bien definida ya que acabamos de asumir que $\mathbb{Z}$ está completo. Pero el Corolario 1 es sólo otra forma de decir que $F$ es inyectiva. Esto no puede ocurrir debido a la diferencia de cardinalidad entre $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$ . $\Box$

En particular, la prueba del Corolario 2 muestra que en realidad la mayoría de las series de potencias de la forma $\sum_{i=0}^\infty a_i p^i$ no son convergentes, aunque todas sean de Cauchy.

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Un ejemplo concreto de este tipo de series de potencias es el siguiente: sea $r\in\mathbb{Z}$ , $r> 1$ y considerar la serie geométrica $\sum_{i=0}^\infty r^i$ . Desde $S_n=\sum_{i=0}^n r^i=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$ entonces la diferencia $\frac{1}{1-r}-S_n=\frac{r^{n+1}}{1-r}$ . Por lo tanto, si $r=p^m$ para algunos $m$ entonces $\sum_{i=0}^\infty r^i$ converge a $\frac{1}{1-r}$ en $\mathbb{Q}$ . En otras palabras

$$\sum_{i=0}^\infty p^{mi}=\frac{1}{1-p^m}$$

para cualquier $m\geq 1$ . Obsérvese que la suma no es un número entero salvo en el caso de $p=2$ y $m=1$ caso.

Obsérvese también que la misma demostración del Corolario 2 funciona si sustituimos $\mathbb{Z}$ por $\mathbb{Q}$ en el lado derecho de $F$ función. En particular $\mathbb{Q}$ en $p$ -La métrica de la adicción tampoco es completa. Un ejemplo concreto de una secuencia de Cauchy que no es convergente sobre $\mathbb{Q}$ es, por supuesto, mucho más difícil, y todavía no he podido encontrar un ejemplo (pero actualizaré la respuesta si la encuentro).

EDITAR: Como ha observado @Torsten Schoeneberg en los comentarios, dado el estándar $p$ -representación de los enfermos $\sum_{i=0}^\infty a_ip^i$ donde $0\leq a_i\leq p-1$ se sabe que esta serie converge a un racional (en $p$ -métrico) si y sólo si $(a_i)$ es eventualmente periódica ( ver esto ). Por lo tanto, es fácil construir dicha secuencia que no converge a ningún racional, por ejemplo $a_i=1$ si $i$ es una potencia de $2$ y $a_i=0$ de lo contrario.