Profundización en el conocimiento del adjunto de un operador lineal

Question

En mis clases de licenciatura en Q.M se describe el adjunto de un operador lineal puramente como una formalidad matemática. En este punto, me gustaría una comprensión más profunda y heurística de la misma.

Mis preguntas se basan en las páginas 24 y 28 del texto Introducción a la computación cuántica por P. Kaye.

En la página 24 se expone la definición del dual de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}^{*}$

Definición: Que $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert. El espacio de Hilbert $\mathcal{H}^{*}$ se define como el conjunto de mapas lineales $\mathcal{H} \rightarrow \mathbb{C}$ . Denotamos elementos de $\mathcal{H}^{*}$ por $\langle \mathcal{X} |$ donde la acción de $\langle \mathcal{X} |$ est $\langle \mathcal{X} | : | \psi \rangle \mapsto \langle \mathcal{X} | \psi \rangle \in \mathbb{C}$ .

De hecho, el espacio de Hilbert $\mathcal{H}^{*}$ es simplemente el espacio de todas las funciones lineales - cada una de ellas con su correspondiente forma de vector de fila o vector dual - que mapea un vector de $\mathcal{H}$ a $\mathbb{C}$ contratando un sujetador y un ket o, si eres un matemático, un vector de filas con un vector de columnas.

En la página 28, Cada mapa en $\mathcal{H}^{*}$ corresponde a algún vector $\langle{\phi'} | $ . El adjunto del operador $T$ , denotado como $T^{\dagger}$ se define como el mapa lineal que envía $\langle {\phi} |$ a $\langle {\phi'} |$ , donde $\langle \phi | (T |\psi \rangle) = \langle \phi ' |\psi \rangle$ .

En primer lugar, por definición, cualquier operador lineal sobre $\mathcal{H}^{*}$ mapea vectores duales en $\mathcal{H}^{*}$ a $\mathbb{C}$ por lo que esto parece contradecir la afirmación del autor de que el adjunto $T^{\dagger}$ mapea elementos en $\mathcal{H}$ a $\mathcal{H}$ .

En segundo lugar, si lo anterior es cierto, ¿cómo valida esto la afirmación de que $\langle \phi | (T |\psi \rangle) = \langle \phi ' |\psi \rangle$ ?

Answer 1

Intentaré ayudar a aclarar las cosas.

Dejemos que $f$ ser un continuo mapa lineal $\mathcal{H}\rightarrow \mathbb C$ y $\mathcal{H}^*$ sea el conjunto de todos los mapas de este tipo. El Teorema de la representación de Riesz muestra que para cada uno de esos $f$ hay un elemento único $\left|\phi\right>$ de $\mathcal{H}$ tal que $f(\left|\psi\right>) = \left<\phi\right.\left|\psi\right>$ para todos $\left|\psi\right> \in \mathcal{H}$ . A continuación, hacemos un pequeño abuso de notación e identificamos $f$ con $\left<\phi\right|$ . El teorema de Riesz también muestra que $\mathcal{H}^*$ es a su vez un espacio vectorial, y que el mapa $\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}^*$ definido por $\left|\phi\right> = \left<\phi\right|$ es antilineal (preserva la suma y sustituye la multiplicación escalar por la multiplicación escalar por el conjugado complejo).

Supongamos ahora que $T:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ es un operador lineal en $\mathcal{H}$ . Se puede demostrar que existe otro operador lineal $T^\dagger:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ tal que $\left<\phi\right|(T\left|\psi\right>) = \left<T^\dagger\phi\right|(\left|\psi\right>)$ para todos $\left|\psi\right> \in \mathcal{H}$ y $\left<\phi\right| \in \mathcal{H}^*$ y que esto satisface $T^{\dagger\dagger} = T$ y $(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$ (Ejercicio: demostrarlo). A continuación, utilizamos esto para definir un operador lineal correspondiente en $\mathcal{H}^*\rightarrow \mathcal{H}^*$ que escribiremos en notación postfija: $\left<\phi\right|T^* = \left<T^\dagger\phi\right|$ .

Entonces, ¿por qué hicimos todo esto? La cuestión es que, con esta notación, para cada operador lineal $T$ en $\mathcal{H}$ y para todos para todos $\left|\psi\right> \in \mathcal{H}$ y $\left<\phi\right| \in \mathcal{H}^*$ tenemos $\left<\phi\right|(T\left|\psi\right>) = (\left<\phi\right|T^*)(\left|\psi\right>)$ . Esto significa que podemos eliminar los paréntesis y el $^*$ y tener un símbolo inequívoco: $\left<\phi\right|T\left|\psi\right>$ . Ya sea que interpretemos esto como $T$ actuando sobre $\left|\psi\right>$ (haciéndolo igual a $\left<\phi|T\psi\right>$ ) o $T^*$ actuando en $\left<\phi\right|$ (haciéndolo igual a $\left<T^\dagger\phi|\psi\right>$ ) no importa obtenemos el mismo resultado independientemente. Y esto funciona incluso con operadores compuestos: $$ \left<\phi\right|AB\left|\psi\right> = \left<\phi\right|A\left|B\psi\right> = \left<A^\dagger\phi\right|B\left|\psi\right> = \left<\phi|AB\psi\right> = \left< A^\dagger\phi|B\psi\right> = \left< B^\dagger A^\dagger\phi|\psi\right> = \left< (AB)^\dagger \phi|\psi\right>. $$ Esto completa la analogía con la notación matricial en espacios vectoriales de dimensión finita, donde escribimos el producto interior de dos vectores $(x,y)$ como $x^Ty$ y para un operador lineal $A$ podemos escribir inequívocamente $x^TAy$ para representar tanto $(x,Ay)$ y $(A^Tx,y)$ .