Relatividad numérica en espacios-tiempo causalmente patológicos

Question

Para realizar simulaciones numéricas de la relatividad se adopta casi universalmente el llamado enfoque "3+1": el espaciotiempo se divide en rodajas espaciales, cada una de las cuales representa un "momento en el tiempo". Después de un poco de trabajo, es posible reformular las ecuaciones de campo en un problema de valor inicial bien planteado en las rebanadas.

Esto supone implícitamente que el corte es posible: que es posible dibujar cortes suaves y parecidos a los del espaciotiempo en todas partes, de manera que cada evento se encuentra en uno y sólo uno de ellos. Implícitamente supone que podemos encontrar un función de tiempo universal en el espacio-tiempo. Esto nos impide simular espacios-tiempo con líneas de tiempo cerradas (CTC) o singularidades de tiempo.

Mi pregunta es si existe alguna alternativa al enfoque de corte que pueda, en principio, hacer esto. Por ejemplo, ¿se pueden resolver de alguna manera las ecuaciones de campo de forma autoconsistente "de una vez" en algún volumen compacto utilizando Monte Carlo u otros métodos?

Answer 1

No puedo decir que haya visto nunca ningún intento de simulación de espacios-tiempo no causales (lo más parecido que he visto es la simulación de campos sobre dichos espacios-tiempo). Por cierto, algunos espaciotiempos no causales admiten un corte de tiempo, aunque por definición no todos estos cortes son acrónicos.

Resolverlo como cualquier otra EDP podría ser una vía que merece la pena explorar, pero hay un truco que hay que tener en cuenta: para una superficie inicial (parcial) de Cauchy, si esta superficie inicial tiene una extensión que contiene curvas cerradas de tipo temporal, también tiene una extensión que es causal, como mostrado por Krasnikov . Como se sabe, los campos de materia carecen de soluciones únicas generalmente en curvas cerradas de tipo temporal, pero lo mismo ocurre con la propia métrica.

Como no es único, no estoy muy seguro de lo que podría producir una simulación numérica. Aunque podrían ser los CTCs, ya que el desarrollo de esos espacios-tiempo incluiría singularidades en caso contrario. El único método para comprobarlo sería probablemente probar el método, por ejemplo en algún espaciotiempo con una superficie de Cauchy parcial inicial, idealmente quizás una de vacío. Ori describió el siguiente espaciotiempo con rodajas inicialmente causales que desarrollan CTCs con una métrica de vacío, de la forma

\begin{equation} ds^2 = -dt d\varphi + dx^2 + dy^2 + (f(x,y,\varphi) - t) d\varphi^2 \end{equation}

(en el colector $\Bbb R^3 \times S^1$ ), con la condición de que $f_{,xx} + f_{,yy} = 0$ para que sea plana. El espaciotiempo desarrollará CTCs cuando $f(x,y,\varphi) - T < 0$ para todos los valores de $\varphi$ .