Expresión de la proyección ortogonal sobre el espacio de Hilbert (está relacionada con el método de Galerkin)

Question

Dejemos que $H=L^2(\Omega)$ y $V=H^1(\Omega)$ .

Supongamos que $\{v_j\}$ es una base para $H$ y $V$ (no necesariamente ortogonal).

Dejemos que $V_m = \text{span}(v_1, ..., v_m)$ .

Definir un operador de proyección $P_m:H \to V_m$ satisfaciendo $$(P_m h - h, v_m) = 0 \qquad\text{for all $ v_m \Nen V_m $}.$$

Desde $v_j$ es una base, podemos escribir $h = \sum_{j=1}^\infty a_jv_j$ donde $a_j$ son coeficientes. Ahora bien, si $v_j$ fueran una base ortonormal de $V$ y una base ortogonal de $H$ , entonces simplemente tenemos $$P_m(h) = \sum_{j=1}^m a_jv_j.$$

¿Existe esa expresión cuando $v_j$ no es ortogonal?

Lo pregunto porque esta es la configuración utilizada en un método Galerkin. ¿Hay alguna forma diferente de definir los operadores de proyección sobre el subespacio de dimensión finita cuando no tenemos una base ortogonal?

Answer 1

No importa, la proyección sigue siendo ortogonal, por lo que sigue tomando la forma $$\tilde h = P_m(h) = \sum_{j=1}^m a_jv_j$$ es decir, está en el tramo lineal del $v_j$ 's. Si el $v_j$ son ortonormales, entonces los coeficientes son "fáciles" de calcular: $$a_j = \left<h,v_j\right>$$

En general, los coeficientes tienen que satisfacer un sistema de ecuaciones. En particular, si se escribe

$$\tilde h = \sum_{j=1}^m a_j v_j$$

entonces todavía puedes resolver los coeficientes utilizando el producto interior (sólo que ya no puedes hacerlo directamente):

$$\left<\tilde h,v_i \right> = \sum_{j=1}^m a_j \left<v_j,v_i\right>$$

que es un sistema de ecuaciones para $a_j$ es decir

$$V\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}h_1 \\ h_2 \\ \vdots \\ h_m \end{pmatrix}$$

donde $(V)_{ij} = \left<v_j,v_i\right>$ y $h_i = \left<\tilde h,v_i \right>$ .