Integral de la función logarítmica natural mediante sustitución

Question

$$\int_{2} ^{4}\dfrac{dx}{x(\ln x)^2}.$$

Esto es lo que hice:

$$u=\ln x, du=\dfrac{dx}{x}$$

$$\int_{2} ^{4}u^{-2}du$$

$$(-1)u^{-1} |_{2}^{4}$$

$$-\dfrac{1}{\ln x}|_{2}^{4}$$

$$-\dfrac{1}{\ln 4} + \dfrac{1}{\ln 2}$$

Sin embargo, la respuesta en la parte posterior de mi libro de texto dice que la respuesta es $\dfrac{1}{\ln 4}$ . He repasado mi trabajo un par de veces y no veo qué he hecho mal. ¿Podría alguien explicar qué es lo que está mal aquí? Gracias.

Answer 1

Por un denominador común, esto es lo mismo que

$$\frac{-\ln{2} + \ln{4}}{\ln{4} \ln{2}} = \frac{-\ln{\frac{1}{2}}}{\ln{4} \ln{2}} = \frac{\ln{2}}{\ln{4} \ln{2}} = \frac{1}{\ln{4}}$$

Answer 2

¡Así es! $$-\frac{1}{ln(2²)}+\frac{1}{ln(2)}=-\frac{1}{2ln(2)}+\frac{1}{ln(2)}=1/2\frac{1}{ln(2)}=\frac{1}{ln(2²)}$$ Siempre encontrarás respuestas como ésta.