¿Cuál es el polinomio mínimo de $x = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{6} = \cot (7.5^\circ)$ ?

Question

Inspirado en un pregunta anterior qué dejar $x = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{6} = \cot (7.5^\circ)$ . ¿Qué es el polinomio mínimo de $x$ ?

La teoría de la extensiones algebraicas dice que el título es $4$ ya que tenemos el grado de la extensión del campo $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{6}): \mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}): \mathbb{Q}] =4$

¿Nos ayuda la trigonometría a encontrar las otras tres raíces conjugadas?

• $+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{6} = \cot \theta_1$
• $-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{6} = \cot \theta_2$
• $-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{6} = \cot \theta_3$

Este problema sería más fácil si utilizáramos $\cos$ en lugar de $\cot$ . Si recuerdo el identidad de medio ángulo o... identidad de doble ángulo :

$$ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{\frac{1 - \sin \frac{\theta}{2}}{1 + \sin \frac{\theta}{2}}}$$

Perdón por el olvido, pero pregunto por la relación entre la trigonometría y la teoría de Galois de este número.

Answer 1

Sólo tienes que escribir tu número y sus potencias cuadrada, cúbica y cuarta en la forma $z^j = a_j + b_j \sqrt{2} + c_j \sqrt{3} + d_j \sqrt{6}$ con $a_j,b_j,c_j,d_j$ racional y resolver un sistema de cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas

$$ \eqalign{a_4 + a_3 x_3 + a_2 x_2 + a_1 x_1 + a_0 x_0 &= 0\cr b_4 + b_3 x_3 + b_2 x_2 + b_1 x_1 + b_0 x_0 &= 0\cr c_4 + c_3 x_3 + c_2 x_2 + c_1 x_1 + c_0 x_0 &= 0\cr d_4 + d_3 x_3 + d_2 x_2 + d_1 x_1 + d_0 x_0 &= 0\cr }$$

para determinar un polinomio $Z^4 + x_3 Z^3 + x_2 Z^2 + x_1 Z + x_0$ del cual tu número es una raíz.

Maple dice que la respuesta es $Z^4 - 8 Z^3 + 2 Z^2 + 8 Z + 1$ .

EDIT: Aquí hay otra manera, tal vez un poco más profundo. Su número es $z = 1+(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{3})$ . $u = 1+\sqrt{2}$ es un valor propio de $A = \pmatrix{0 & 1\cr 1 & 2\cr}$ y $v = 1+\sqrt{3}$ es un valor propio de $B = \pmatrix{0 & 2\cr 1 & 2\cr}$ .
Así que $uv = (1+\sqrt{2})(1+\sqrt{3})$ es un valor propio de $$ A \otimes B = \pmatrix{0 & 0 & 0 & 2\cr 0 & 0 & 1 & 2\cr 0 & 2 & 0 & 4\cr 1 & 2 & 2 & 4}$$ que tiene el polinomio característico $X^4 - 4 X^3 - 16 X^2 - 8 X + 4$ . Sustituir $X = Z - 1$ para obtener $Z^4 - 8 Z^3 + 2 Z^2 + 8 Z + 1$ .

Answer 2

Según la teoría de Galois, los campos intermedios son $\Bbb{Q}(\sqrt2)$ , $\Bbb{Q}(\sqrt3)$ y $\Bbb{Q}(\sqrt6)$ . Tu número no es un elemento de ninguno de ellos, por lo que genera toda la extensión 4-d. En particular, sabemos que el polinomio mínimo será un cuártico. Por tanto, cualquier polinomio cuártico con coeficientes enteros que tenga este número como raíz es el polinomio mínimo.

Sea $x=2+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6$ . Entonces $$ 0=(x-2-\sqrt3)^2-(\sqrt2+\sqrt6)^2=x^2-(4+2\sqrt3)x-1. $$ La idea aquí es que la cuadratura elimina "la $\sqrt2$ contenido" de $\sqrt2+\sqrt6$ dejando sólo irracionalidades procedentes de $\sqrt3$ .

Utilizando el conjugado algebraico obvio como factor adicional vemos que $$ m(x)=(x^2-(4+2\sqrt3)x-1)(x^2-(4-2\sqrt3)x-1)=x^4-8x^3+2x^2+8x+1 $$ encaja a la perfección.

Los conjugados algebraicos de los valores de las funciones trigonométricas (en múltiplos racionales de $\pi$ ) son del mismo tipo: $$ \begin{aligned} 2+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6&=\cot\frac{\pi}{24},\\ 2+\sqrt2-\sqrt3-\sqrt6&=\cot\frac{17\pi}{24},\\ 2-\sqrt2+\sqrt3-\sqrt6&=\cot\frac{13\pi}{24},\\ 2-\sqrt2-\sqrt3+\sqrt6&=\cot\frac{5\pi}{24}. \end{aligned} $$ No he comprobado los detalles, pero estoy bastante seguro de que cuando se buscan las fórmulas de ángulos múltiples enteros para la cotangente, el polinomio $m(x)$ se sale. Después de todo, podemos escribir $\cot 6x$ como función racional de $\cot x$ con polinomios de grados $\le6$ como numeradores y denominadores. Cuando se utiliza esa fórmula en la l.h.s. de la ecuación $$ \cot 6x=1 $$ y despejar el denominador, el grado resultante $6$ ecuación polinómica en $\cot x$ factores como producto de un cuártico (obviamente $m(\cot x)$ ) y una cuadrática, esta última para las soluciones $x=3\pi/8$ y $x=7\pi/8$ .