Segundo producto simétrico de una curva hiperelíptica

Question

Dejemos que $C$ sea una curva hiperelíptica de género $g\geq 3$ , dejemos que $C^{(2)}$ sea el segundo producto simétrico de $C$ con ella misma, es decir, el cociente de $C\times C$ por la involución $(p,q)\mapsto (q,p)$ y que $g_2^1$ sea la única serie lineal de grado dos en $C$ . El mapa $$\mu\colon C^{(2)}\to JC \qquad p+q\mapsto [p+q-g_2^1]$$ contrae la curva racional en $C^{(2)}$ definido por los pares $p+\sigma(p)$ , donde $\sigma\in {\rm Aut}(C)$ es la involución hiperelíptica. La superficie $S =\mu(C^{(2)})$ es invariante bajo el mapa de cambio de signo $x\mapsto -x$ de $JC$ . Mi pregunta es qué se sabe de la superficie del cociente $$K = S/\langle -1\rangle.$$ ¿Hay alguna referencia a esto en la literatura?

Estoy omitiendo el caso $g=2$ ya que en ese caso se sabe mucho siendo $K$ la superficie Kummer de $C$ .