¿Existe un método más elegante para demostrar que necesitamos una extensión de campo que el que estoy usando?

Question

Si intentara construir un campo de división para $(x^2-3)(x^2-5)$ sobre $\Bbb Q(\sqrt{2})$.

Entonces obviamente comenzaría por verificar si $\sqrt3$ es un elemento de $\Bbb Q(\sqrt{2})$.

Para hacer esto, asumiría que lo es y obtendría la ecuación

$$3=a^2+2ab+b^2$$

y demostraría que esto es imposible para los tres casos $a=0,b=0,ab=0$

Y así adicionaría este elemento para obtener

$$\Bbb Q(\sqrt{3},\sqrt{2}):=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+\sqrt{6}|a,b,c,d \in \Bbb Q\}$$

Pero probar que $\sqrt{5}\notin \Bbb Q(\sqrt{3},\sqrt{2})$ de la misma manera que arriba, aunque bastante directo, es complicado y consume tiempo. Por lo tanto, en un entorno de examen, me gustaría evitar este método.

¿Hay un método más elegante para mostrar que $\sqrt{5}\notin \Bbb Q(\sqrt{3},\sqrt{2})?

Answer 1

Al parecer, todavía no tienes un kit completo, y supongo que demostrando a partir de la definición es probablemente la única esperanza. Pero déjame intentar hacer que parezca menos doloroso.

Si $\sqrt 5 \in \mathbb Q[1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6]$, entonces también lo es $\sqrt{\alpha}$ para $\alpha \in \{5,10,15,30\}$. Por lo tanto, asumimos

$$ \sqrt\alpha = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt 6, $$

donde $a,b,c,d \in \mathbb Q$ y $a \neq 0$. Dado que $\sqrt\alpha^2 \in \mathbb Q$, al comparar términos tenemos

$$ \begin{aligned} 2bc + 2ad &= 0;\\ 2ab + 6cd &= 0;\\ 2ac + 4bd &= 0. \end{aligned} $$

A partir de la primera ecuación $d = -\frac{bc}{a}$. Sustituyendo en la segunda, $b(a^2 - 3c^2)=0$. Dado que $a \neq 0$, $b = 0$, entonces $d =0$, por lo tanto $c = 0$, lo que significa que $\sqrt \alpha \in \mathbb Q$, contradicción.