¿Es el algoritmo de Risch lo suficientemente potente como para determinar que cualquier integral de una función tiene una forma cerrada o no?

Question

¿Es el algoritmo de Risch lo suficientemente potente como para determinar que cualquier integral de una función tiene una forma cerrada o no?

¿Hay alguna referencia histórica que apoye su respuesta?

http://mathworld.wolfram.com/RischAlgorithm.html

Answer 1

No, el algoritmo de Risch no funciona para todas las funciones de forma cerrada. A forma cerrada es una función a partir de un conjunto dado de funciones donde se dan las propias funciones o el generador del conjunto.

El algoritmo de Risch sólo da respuestas para integradas y antiderivadas del mismo campo diferencial, por ejemplo para la Funciones elementales o el Funciones de Liubliana . Estas funciones generadas por un campo diferencial se definen, por ejemplo, en la sección 1 de Davenport, J. H.: ¿Qué puede significar "entender una función"? . En: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlín/Heidelberg, 2007, página 55-65. Y para tales clases de funciones, el algoritmo de Risch es completo. El algoritmo de Risch utiliza Teorema de Liouville en álgebra diferencial .

Existen extensiones del algoritmo de Risch para poder manejar algunas funciones especiales.

Véase por ejemplo Wikipedia: Algoritmo Risch y MathWorld: Algoritmo Risch .