Convergencia débil en $W_0^{1,p}(\Omega)$ implica una convergencia débil en $(L^2(\Omega))^N$ ?

Question

Dejemos que $\{u_n\} \subset W_0^{1,p}(\Omega)$ , donde $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ es un dominio acotado y $p>1$ . Supongamos que existe $C \in (0,\infty)$ tal que $$ \tag{1} \int_\Omega |\nabla u_n|^p \,dx < C, \quad \forall n \in \mathbb{N}, $$ es decir, $\{u_n\}$ está acotado en $W_0^{1,p}(\Omega)$ . Entonces $u_n \to u$ débilmente en $W_0^{1,p}(\Omega)$ a algunos $u \in W_0^{1,p}(\Omega)$ hasta una subsecuencia.

La acotación (1) también puede interpretarse como la acotación de $\{|\nabla u_n|^\frac{p-2}{2}\nabla u_n\}$ en $(L^2(\Omega))^N$ . (O, de forma más general, como la delimitación de $\{|\nabla u_n|^q\nabla u_n\}$ en $(L^\frac{p}{q+1}(\Omega))^N$ ). Así, $|\nabla u_n|^\frac{p-2}{2}\nabla u_n \to z$ débilmente en $(L^2(\Omega))^N$ a algunos $z \in (L^2(\Omega))^N$ hasta una subsecuencia.

¿Es cierto que $z = |\nabla u|^\frac{p-2}{2}\nabla u$ ?

Esta pregunta apareció en el debate de la pregunta relacionada .

Answer 1

He aquí un contraejemplo. Sea $\Omega=(0,1)$ . Definir $$ f(x):= \begin{cases} -1 & \mbox{ if } t\in (0,2/3)\\ 2& \mbox{ if } t\in (2/3,1)\end{cases} $$ y ampliar $f$ $1$ -periódicamente a $\mathbb R$ . Definir $f_n:=f(nx)$ . Entonces $f_n \rightharpoonup 0$ en $L^2(\Omega)$ . Además, $$ |f|^{\frac{p-2}2}f = \begin{cases} -1 & \mbox{ if } t\in (0,2/3)\\ 2^{p/2}& \mbox{ if } t\in (2/3,1)\end{cases}, $$ así que $|f_n|^{\frac{p-2}2}f_n \rightharpoonup \frac23(1-2^{p/2})\ne 0$ donde este último valor es la media integral de $|f|^{\frac{p-2}2}f $ .

Ahora defina $v_n(x)=\int_0^x f_n(s)ds$ .