¿Es cierto que $\lim\limits_{n\to\infty}{f(x_{n})}=\lim\limits_{n\to\infty}{f(y_{n})}$

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ .

Si para toda la secuencia $x_n\rightarrow 0$ la secuencia ${f(x_n)}$ es convergente,

puedo decir que es cierto que para $x_n,y_n\rightarrow 0$ me lo darán:

$\lim\limits_{n\to\infty}{f(x_{n})}=\lim\limits_{n\to\infty}{f(y_{n})}$ ?

Gracias.

Answer 1

Sí. Si tuvieras dos secuencias $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ y $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ que convergen a cero y para los que $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = L_1$ y $\lim_{n \to \infty} f(y_n) = L_2$ y $L_1 \neq L_2$ entonces para la secuencia

$$ z_n := \begin{cases} x_n & n \textrm{ is even} \\ y_n & n \textrm{ is odd} \end{cases} $$

tendrías que $z_n \to 0$ mais $f(z_n)$ tendría dos subsecuencias $f(z_{2n})$ y $f(z_{2n+1})$ que convergen a dos límites diferentes y así $f(z_n)$ no tendrá un límite.