¿Cuál es la geometría de una ecuación diofantina indecidible?

Question

Como geómetra aritmético-algebraico de la más alta fibra moral, estoy entrenado para ver las ecuaciones diofantinas en términos de la geometría del esquema correspondiente. Por ejemplo, si la ecuación diofantina proviene de una curva, sé que debo calcular el género, y hacer varias cosas dependiendo de si el género es $0$ , $1$ o $\geq 2$ .

Pero sé muy poco sobre cuáles son los límites de este enfoque geométrico. Sólo sé que existen ecuaciones diofantinas indecidibles, o familias de ecuaciones diofantinas. No sé cómo es su geometría.

¿Las ecuaciones diofantinas indecidibles, o las familias de ecuaciones, tienen propiedades geométricas interesantes? ¿Podemos calcular invariantes geométricos básicos como el diamante de Hodge, la dimensión de Kodaira, etc.? ¿Son patológicas en todos los sentidos, o algunas de ellas tienen propiedades que podrían dar a un geómetra ingenuo la esperanza de encontrar soluciones? ¿Qué intentaría hacer Noam Elkies si se le pidiera que los resolviera y no supiera que son indecidibles, y por qué se vería bloqueado?

Answer 1

Aunque no tengo una respuesta completa a su pregunta, las siguientes observaciones pueden ayudar.

Distingamos entre (1) ejemplos explícitos de sistemas de ecuaciones diofantinas que se sabe que son indecidibles, y (2) un sistema de ecuaciones diofantinas que tiene la propiedad de ser indecidible, lo sepamos o no.

En cuanto al número (1), Jones ha escrito algunos ejemplos explícitos. La principal dificultad práctica para calcular cualquier invariante de estos ejemplos es su tamaño. El ejemplo básico del artículo tiene 28 variables y grado $5^{60}$ que puede reescribirse como un sistema en 58 variables y grado 2. Mi opinión es que cualquier algoritmo de base de Groebner se estrellaría en este ejemplo, no por ninguna patología en particular, sino por su tamaño. Sin embargo, puede que me equivoque. El ejemplo está escrito explícitamente, así que podrías intentar jugar con él tú mismo.

En cuanto al número (2), aunque no conozco ningún teorema preciso al respecto, creo que la intuición de la mayoría de los lógicos y teóricos de la computabilidad es que "la mayoría" de los sistemas de ecuaciones diofantinas son indecidibles. (Esto está relacionado con la intuición de que "la mayoría" de los conjuntos computables no son computables). Si esta intuición es correcta, entonces las ecuaciones diofantinas indecidibles no son "especiales"; es justo lo contrario: las decidibles son las que son especiales. Entonces tu pregunta no es muy diferente de la pregunta ¿cuál es la geometría de un conjunto "aleatorio" de ecuaciones diofantinas? Así que se convierte más en una cuestión de álgebra conmutativa computacional que en una cuestión de teoría de la computabilidad.

Answer 2

Esto es sólo un comentario largo, más que una respuesta a la pregunta de Will. Hay problemas "estándar" algorítmicamente irresolubles en la teoría combinatoria de grupos: El problema de la palabra, el problema de la conjugación, el problema de la trivialidad del grupo, el problema del isomorfismo de un par de grupos, etc. La línea de argumentación más fructífera que relaciona la lógica con la geometría en la teoría de grupos es encontrar condiciones geométricas en grupos finitamente representados que sean suficiente para la solvencia de estos problemas. Resultó que, definidos adecuadamente hiperbolicidad es una condición geométrica que implica la solvencia algorítmica de todos los problemas "estándar". Además, resultó que la hiperbolicidad es, probabilísticamente hablando, "genérica". Además, uno de los algoritmos más antiguos para resolver problemas de palabras (el algoritmo de Dehn/desigualdad isoperimétrica lineal) es una de las muchas definiciones equivalentes de hiperbolicidad. En vista de ello, buscaría rasgos algebro-geométricos que son suficiente para la resolubilidad algorítmica de las ecuaciones diofantinas, y no al revés. Sin embargo, como no soy ni teórico de los números ni lógico, no sé cuáles podrían ser.

Answer 3

Se tiene un típico conjunto recursivamente enumerable S de números enteros, y un conjunto X de puntos de la red recortados por un polinomio multivariable. Estamos hablando de que S es la proyección (sobre un eje) de X. Dado que S puede ser "bastante malo", ¿se puede decir algo excepto que X es "presumiblemente peor"? El interés no reside en ningún segmento finito de S.

Para decirlo de otra manera, posiblemente más interesante para los geómetras, la analogía con los conjuntos construibles falla aquí. Hay algún indicio en la historia de que Hilbert fue engañado por la teoría de la eliminación al pensar que el teorema de incompletitud de Godel (o algo así) no podía ser el caso. (No estoy expresando esto muy bien, y en cierto modo es una falta de respeto a Hilbert). De todos modos los geómetras algebraicos "saben" que la proyección no innova mucho en el sentido de la geometría, y los lógicos "saben" precisamente lo contrario en términos de lógica. Así que, como mínimo, las intuiciones están en tensión.

(Tal vez el error de pensar que la "geometría de los sistemas diofánticos indecidibles" era una especie de objeto imposible, y que por tanto todos los conjuntos r.e. resultarían recursivos, es un error lo suficientemente inteligente como para atribuírselo a Hilbert. Como una especie de Teorema Fundamental de la Teoría de la Prueba).