$a_{n+1}a_n=a_n^2+a_n+1$ , $a_1=1$

Question

$a_{n+1}a_n=a_n^2+a_n+1$ , $a_1=1$ cómo encontrar un número entero $k$ , hacer $\left|\sqrt{a_{2020}}-k\right|$ lo más pequeño posible.

Utilizando el ordenador, obtengo $a_{2020}\approx 2027.38$ . entonces $\sqrt{a_{2020}}\approx 45.0264,k=45$

Pero sin ordenador, ¿cómo calcularlo?

Me he dado cuenta de que si $\sqrt{a_{2020}}=XXX.6$ etc., entonces $k=XXX+1$ , si no $k=XXX$ . Pero luego se me quedaron las ideas en el tintero.

Answer 1

Podemos observar que nuestra secuencia es creciente, por lo que tiene sentido reescribir la regla que da la secuencia como $a_{n+1} = a_n+1+\frac{1}{a_n}$ . La idea es demostrar que la contribución del $\frac{1}{a_n}$ es pequeño, y en particular no afectará a la estimación de lo que es la raíz cuadrada en este caso.

Dejemos que $H_n=\sum_{i=1}^n \frac1i$ El $n^{th}$ número armónico. Entonces para $n>1$ tenemos que $n + 1 \leq a_n \leq n+H_{n-1}$ por inducción, lo cual es relativamente sencillo. Como $H_n \sim \ln n + \gamma +O(\frac 1n)$ , esto da que $H_{2020}$ es aproximadamente $\ln 2020$ que ciertamente no es más que $11$ , como $2^{11}= 2048$ . Así que $2021\leq a_{2020} \leq 2031$ y como $2025=45^2$ vemos que $k$ debe ser $45$ .

Answer 2

$a_1 = 1, a_{n+1} = a_n+1+\frac{1}{a_n} $ .

Entonces $a_n > n$ y $a_{n+1} > a_n$ .

$\begin{array}\\ a_{m+1}-a_1 &=\sum_{n=1}^m (a_{n+1}-a_n)\\ &=\sum_{n=1}^m (1+\dfrac1{a_n})\\ &<m+\sum_{n=1}^m \dfrac1{n}\\ &=m+H_m\\ &< m+\ln(m)+1\\ \end{array} $

así que $a_{m+1} \lt m+\ln(m)+2 $ .

$\dfrac1{a_m} \gt \dfrac1{m+1+\ln(m-1)} $ así que

$\begin{array}\\ a_{m+1}-a_1 &=\sum_{n=1}^m (a_{n+1}-a_n)\\ &=\sum_{n=1}^m (1+\dfrac1{a_n})\\ &=m+\sum_{n=1}^m \dfrac1{a_n}\\ &=m+1+\sum_{n=2}^m \dfrac1{a_n}\\ &>m+1+\sum_{n=2}^m (\dfrac1{n+\ln(n)+1}-\dfrac1{n})+H_n-1\\ &=m-\sum_{n=2}^m \dfrac{\ln(n)+1}{n(n+\ln(n)+1)}+H_m\\ &>m+H_m-1.1\\ &>m+\ln(m)+.5-1.1\\ &=m+\ln(m)-0.6\\ \end{array} $

así que $a_{m+1} \gt m+\ln(m)+.4 $ .

Por lo tanto, $a_{2020} \gt 2028.01 $ y $a_{2020} \lt 2029.7 $ así que $45.03 \lt \sqrt{a_{2020}} \lt 45.052 $ .

Por lo tanto, $k = 45$ .