Encontrar el valor de la suma infinita $1 -\frac{1}{4} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \frac{1}{13} - \frac{1}{16} + \frac{1}{19} + ... $

Question

Puede alguien ayudarme a encontrar cuál es el valor de $1 -\frac{1}{4} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \frac{1}{13} - \frac{1}{16} + \frac{1}{19} + ... $ cuando tiende al infinito

El primero quiero encontrar el patrón pero parece que no tiene ningún patrón único ¿puede alguien ayudarme?

Answer 1

Una pista. Observe que el término general de su serie es $$\frac{(-1)^n}{3n+1}. $$ Entonces puede escribir $$ \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^1 x^{3n} dx\\\\ &=\int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{3n} dx\\\\ &=\int_0^1 \frac{1}{1+x^3} dx\\\\ &=\int_0^1 \left(\frac{1}{3 (1+x)}+\frac{2-x}{3 \left(1-x+x^2\right)}\right) dx\\\\ &=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{\pi\sqrt{3}}{9} \end{align} $$

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Algunos detalles. $$ \begin{align} \int_0^1 \frac{1}{1+x^3} dx&=\frac{1}{3}\int_0^1\!\frac{dx}{(1+x)}+\frac{1}{3}\int_0^1\!\frac{2-x}{(x-1/2)^2+3/4} dx\\\\ &=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{3}\int_{-1/2}^{1/2}\!\frac{3/2-u}{u^2+3/4} du \quad (u=x-1/2, \,dx=du)\\\\ &=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{3}\int_{-1/2}^{1/2}\!\frac{3/2}{u^2+3/4} du\\\\ &=\frac{1}{3}\ln 2+\int_{0}^{1/2}\!\frac{1}{u^2+3/4} du\\\\ &=\frac{1}{3}\ln 2+\left.\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{2}{\sqrt{3}}u\right)\right|_{0}^{1/2} \\\\ &=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{\pi\sqrt{3}}{9} \end{align} $$ donde hemos utilizado $\displaystyle \arctan \!\left(\! \frac{1}{\sqrt{3}}\!\right)\!=\frac{\pi}{6}$ .

Answer 2

Mira la respuesta final. La respuesta final te dice que esta serie no se puede calcular de forma sencilla. Aquí propongo una solución aunque no es una buena solución:

$$\Sigma_{n=1}^\infty \frac1{(n+a)(n+b)}=\frac{H_a-H_b}{a-b}$$

Dónde $H_x$ es número armónico de $x$ .

(También se puede sustituir por la función digamma. Aunque $\psi_0(x)\neq H_x$ el resultado sigue siendo el mismo).

Informática $H_x$ tampoco es fácil. Es tan difícil como el cálculo de integrales. Pero si tienes su tabla, puedes calcular la serie.

En este caso, si usted sabe $H_{\frac16}$ y $H_{\frac23}$ puede resolver esta serie (¡condición impar!).

$$\Sigma_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(3n+1)}=\Sigma_{n=0}^\infty (\frac1{(6n+1)}-\frac1{(6n+4)})=\Sigma_{n=0}^\infty \frac3{(6n+1)(6n+4)}=1-\frac14+\frac3{36}\Sigma_{n=1}^\infty \frac1{(n+\frac16)(6n+\frac46)}=1-\frac14+\frac1{12}\times\frac{H_{\frac46}-H_{\frac16}}{\frac46-\frac16}=\frac34+\frac16(H_{\frac23}-H_{\frac16})$$

Necesito conocer estos dos números armónicos (la gran desventaja de este método):

$$H_{\frac23}=\frac32+\frac\pi{2 \sqrt3}-\frac{3 \log 3}2$$

$$H_{\frac16}=6-\frac{\sqrt3 \pi}2-\frac{3 \log 3}2-\log4$$

$$H_{\frac23}-H_{\frac16}=-\frac92+\frac{2\pi \sqrt3}3+2\log 2$$

$$\Sigma_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(3n+1)}=\frac34+\frac16 (-\frac92+\frac{2\pi \sqrt3}3+2\log 2)$$

$$\therefore ~~~\Sigma_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(3n+1)}=\frac{\pi \sqrt3}9+\frac{\log2}3$$