Área de una función recursiva

Question

¿Cuál es el área de la región limitada por $y = f_n(x)$ y el $x$ -eje como $n$ ¿se hace grande?

$f_0=1-|x|$
$f_n=1-|1-2f_{n-1}(x)|$

Supongamos que el dominio de $f$ para ser los números reales.

Probando varios valores para $n$ y $x$ Lo tengo. $f_n(x) = 2^{n}\cdot f_0(x)$

Integrando esto obtuve que el área está dada por $2^{n-1}\cdot x\cdot (2-|x|)$ .

Sin embargo, también me dijeron que la zona es de hecho $1$ como $n$ se acerca al infinito.

La fórmula que se me ocurrió (adivinada) parece que se comprueba si integro $2^{n-1}\cdot f_0(x)$ entre ciertos valores y para un determinado $n$ y compararlo con la expansión manual de ese determinado $f_n$ e integrándola entre los mismos valores.

Mis preguntas son:

1. ¿Está mal mi fórmula?
2. ¿Cómo podemos demostrar que el área es 1?

Answer 1

Debe integrar entre -1 y 1; de lo contrario, la integral diverge. Dentro de esta región, $f_n$ es un diente de sierra periódico. Esto es obvio siguiendo los pasos geométricos para cualquiera de los dientes: $-2f_{n-1}$ duplica la altura de $f_{n-1}$ y voltea el gráfico sobre el eje x, que se eleva en $1$ . El valor absoluto crea un nuevo "diente", y luego restando todo eso de $1$ lo invierte todo. El proceso convierte cada diente en un par de dientes de la misma altura pero de la mitad de la anchura, por lo que los nuevos dientes tienen la mitad de la superficie original de los dientes que han sustituido. Dos de ellos ocupan la superficie original. Por tanto, por inducción, las integrales de todo el $f_n$ entre -1 y 1 es igual a la integral de $f_0$ , que es 1.